en una dimensión, se puede demostrar que el estado fundamental de la ecuación de Schrödinger no tiene nodos.

Derivacióneditar

considerar la energía promedio de un estado con un nodo en x = 0; es decir, ψ(0) = 0. El promedio de la energía en este estado sería

⟨ ψ | H | ψ ⟩ = ∫ f x ( − ℏ 2 2 m ψ ∗ d 2 ψ d x 2 + V ( x ) | ψ ( x ) | 2 ) , {\displaystyle \langle \psi |H|\psi \rangle =\int dx\,\left(-{\frac {\manejadores ^{2}}{2m}}\psi ^{*}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)|\psi (x)|^{2}\derecho)}

donde V(x) es el potencial.,

Suponiendo ψ ( x ) ≈ − c x {\displaystyle \psi (x)\aprox -cx} alrededor de x = 0 {\displaystyle x=0} , se puede escribir

ψ ‘ ( x ) = N { | ψ ( x ) | , | x | > ϵ , c ϵ , | x | ≤ ϵ , {\displaystyle \psi ‘(x)=N{\begin{casos}|\psi (x)|,&|x|>\epsilon ,\\c\epsilon ,&|x|\leq \epsilon ,\end{casos}}}

donde N = 1 1 + 4 3 | c | 2 ϵ 3 {\displaystyle N={\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {4}{3}}|c|^{2}\epsilon ^{3}}}}} es la norma.,

Por otro lado, en el intervalo x ∈ {\displaystyle x\in } tenemos

V avg ϵ ‘= ∫ − ϵ ϵ d x V ( x ) | ψ ‘ | 2 = ϵ 2 | c| 2 1 + 4 3 | c | 2 ϵ 3 ∫ − ϵ ϵ d x V ( x ) ≃ 2 ϵ 3 | c | 2 V ( 0 ) + ⋯ , {\displaystyle {V_{\text{avg}}^{\epsilon }}’=\int _{-\epsilon }^{\epsilon }dx\,V(x)|\psi ‘|^{2}={\frac {\epsilon ^{2}|c|^{2}}{1+{\frac {4}{3}}|c|^{2}\epsilon ^{3}}}\int _{-\epsilon }^{\epsilon }dx\,V(x)\simeq 2\epsilon ^{3}|c|^{2}V(0)+\cdots ,}

que tiene a fin de ϵ 3 {\displaystyle \epsilon ^{3}} .,

sin Embargo, la contribución a la energía potencial de esta región para el estado ψ con un nodo es

V avg ϵ = ∫ − ϵ ϵ d x V ( x ) | ψ | 2 = | c | 2 ∫ − ϵ ϵ d x x 2 V ( x ) ≃ 2 3 ϵ 3 | c | 2 V ( 0 ) + ⋯ , {\displaystyle V_{\text{avg}}^{\epsilon }=\int _{-\epsilon }^{\epsilon }dx\,V(x)|\psi |^{2}=|c|^{2}\int _{-\epsilon }^{\epsilon }dx\,x^{2}V(x)\simeq {\frac {2}{3}}\epsilon ^{3}|c|^{2}V(0)+\cdots ,}

por lo tanto, podemos eliminar todos los nodos y reducen el consumo de energía por O ( ϵ ) {\displaystyle O(\epsilon )} , lo que implica que ψ’ no puede ser el estado del suelo., Por lo tanto, la función de onda de estado fundamental no puede tener un nodo. Esto completa la prueba. (La energía media puede reducirse aún más mediante la eliminación de ondulaciones, al mínimo absoluto variacional.)

Implicacióneditar

como el estado fundamental no tiene nodos, es espacialmente no degenerado, es decir, no hay dos estados cuánticos estacionarios con el valor propio de energía del estado fundamental (llamémoslo E G {\displaystyle E_{g}}) y el mismo estado de espín y, por lo tanto, solo diferirían en sus funciones de onda de posición-espacio., / ψ 1 ( x 0 , 0 ) | 2 + | ψ 2 ( x 0 , 0 ) | 2 > 0 {\displaystyle A={\sqrt {|\psi _{1} (x_{0},0)|^{2}+|\psi _ {2} (x_{0},0)|^{2}}}>0\,} (de acuerdo con la premisa no hay nodos)

tenga en cuenta que el estado fundamental podría degenerar debido a diferentes estados de espín como | ⟩ {\displaystyle \left|\uparrow \right\rangle } y | ↓ ⟩ {\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle } mientras que tiene la misma función de onda de espacio de posición: cualquier superposición de estos estados crearía un estado de espín mixto pero dejaría la parte espacial (como un factor común de ambos) inalterado.,