Sources and contents of the Elements
Euclid compiled his Elements from a number of works of earlier men. Entre estos se encuentran Hipócrates de Quíos (florecido C. 440 A. C.), que no debe confundirse con el médico Hipócrates de Cos (C. 460-375 a. C.). El último compilador antes de Euclides fue Teudius, cuyo libro de texto fue utilizado en la Academia y fue probablemente el utilizado por Aristóteles (384-322 AEC). Los elementos más antiguos fueron inmediatamente reemplazados por Euclides y luego olvidados., Para su tema, Euclides sin duda recurrió a todos sus predecesores, pero está claro que todo el diseño de su obra fue suyo, culminando en la construcción de los cinco sólidos regulares, ahora conocidos como los sólidos platónicos.
un breve examen de los elementos desmiente la creencia común de que solo se refiere a la geometría. Este concepto erróneo puede ser causado por la lectura no más allá de los libros I A IV, que cubren la geometría plana elemental., Euclides entendió que la construcción de una geometría lógica y rigurosa (y las matemáticas) depende de la base—una base que Euclides comenzó en el Libro I con 23 definiciones (como «un punto es el que no tiene parte» y «una línea es una longitud sin anchura»), cinco suposiciones no probadas que Euclides llamó postulados (ahora conocidos como axiomas), y cinco suposiciones no probadas adicionales que llamó nociones comunes. (Véase la tabla de los 10 supuestos iniciales de Euclides.) Libro I entonces prueba teoremas elementales sobre triángulos y paralelogramas y termina con el teorema de Pitágoras., (Para la prueba de Euclides del teorema, ver barra lateral: prueba de molino de viento de Euclides.)
| Euclides los axiomas de | |
|---|---|
| 1 | Dados dos puntos no es la línea recta que los une. |
| 2 | Un segmento de línea recta se puede prolongar indefinidamente., |
| 3 | se puede construir un círculo cuando se da un punto para su centro y una distancia para su radio. |
| 4 | Todos los ángulos rectos son iguales. |
| 5 | si una línea recta que cae sobre dos líneas rectas hace que los ángulos interiores en el mismo lado sean menores que dos ángulos rectos, las dos líneas rectas, si se producen indefinidamente, se encuentran en ese lado en el que los ángulos son menores que los dos ángulos rectos., |
| Euclides de nociones comunes | |
| 6 | Las cosas iguales a una misma cosa son iguales. |
| 7 | Si es igual se agregan a sus iguales, los conjuntos son iguales. |
| 8 | Si iguales se restan de iguales, los restos son iguales. |
| 9 | las cosas que coinciden entre sí son iguales. |
| 10 | El todo es mayor que la parte., |
El tema del Libro II ha sido llamado álgebra geométrica porque establece identidades algebraicas como teoremas sobre figuras geométricas equivalentes. El Libro II contiene una construcción de» la sección», la división de una línea en dos partes de tal manera que la relación entre el segmento más grande y el más pequeño es igual a la relación entre la línea original y el segmento más grande. (Esta división fue rebautizada como la sección dorada en el renacimiento después de que artistas y arquitectos redescubrieran sus agradables proporciones., El Libro II también generaliza el teorema de Pitágoras a triángulos arbitrarios, un resultado que es equivalente a la Ley de cosenos (véase trigonometría plana). El Libro III trata sobre las propiedades de los círculos y el Libro IV sobre la construcción de polígonos regulares, en particular el Pentágono.
El Libro V cambia de geometría plana para exponer una teoría general de proporciones y proporciones que es atribuida por Proclo (junto con el libro XII) a Eudoxo de Cnido (C. 395/390–342/337 AEC)., Si bien el Libro V se puede leer independientemente del resto de los elementos, su solución al problema de los inconmensurables (números irracionales) es esencial para los libros posteriores. Además, formó la base para una teoría geométrica de los números hasta una teoría analítica desarrollada a finales del siglo XIX. El libro VI aplica esta teoría de proporciones a la geometría plana, principalmente triángulos y paralelogramos, culminando en la «aplicación de áreas», un procedimiento para resolver problemas cuadráticos por medios geométricos.,
Los libros VII–IX contienen elementos de teoría de números, donde número (arithmos) significa enteros positivos mayores que 1. Comenzando con 22 nuevas definiciones—tales como unidad, par, impar y primo-estos libros desarrollan varias propiedades de los enteros positivos. Por ejemplo, el Libro VII describe un método, antanaresia (ahora conocido como el algoritmo euclidiano), para encontrar el mayor divisor común de dos o más números; El libro VIII examina los números en proporciones continuas, ahora conocidos como secuencias geométricas (como ax, ax2, ax3, ax4 AX); y el libro IX demuestra que hay un número infinito de primos.,
según Proclo, los libros X Y XIII incorporan la obra del pitagórico Teeteto (C. 417-369 A. C.). El libro X, que comprende aproximadamente una cuarta parte de los elementos, parece desproporcionado a la importancia de su clasificación de líneas y áreas inconmensurables (aunque el estudio de este libro inspiraría a Johannes Kepler en su búsqueda de un modelo cosmológico).
Los libros XI–XIII examinan figuras tridimensionales, en estereometría griega. El libro XI trata de las intersecciones de planos, rectas y paralelepípedos (sólidos con paralelogramos paralelos como caras opuestas)., El libro XII aplica el método de agotamiento de Eudoxo para demostrar que las áreas de los círculos son el uno al otro como los cuadrados de sus diámetros y que los volúmenes de las esferas son el uno al otro como los cubos de sus diámetros. El libro XIII culmina con la construcción de los cinco sólidos platónicos regulares (pirámide, cubo, octaedro, dodecaedro, icosaedro) en una esfera dada, como se muestra en la animación.,
Encyclopædia Britannica, Inc.
La desigualdad de los varios libros y los variados niveles matemáticos puede dar la impresión de que Euclides no era más que un editor de tratados escritos por otros matemáticos., Hasta cierto punto esto es ciertamente cierto, aunque probablemente sea imposible averiguar qué partes son suyas y cuáles fueron adaptaciones de sus predecesores. Los contemporáneos de Euclides consideraban su trabajo definitivo y autoritario; si había que decir más, tenía que ser como comentarios a los elementos.
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