dans une dimension, il peut être prouvé que l’état fondamental de L’équation de Schrödinger n’a pas de nœuds.

DerivationEdit

considérons l’énergie moyenne d’un état avec un nœud à x = 0; c’est-à-dire ψ(0) = 0. La moyenne de l’énergie dans cet état serait

⟨ ψ | H | ψ ⟩ = ∫ d x ( − ℏ 2 2 m ψ ∗ d 2 ψ d x 2 + V ( x ) | ψ ( x ) | 2 ) , {\displaystyle \langle \psi |H|\psi \rangle =\int dx\,\left(-{\frac {\guide ^{2}}{2m}}\psi ^{*}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)|\psi (x)|^{2}\right),}

où V(x) est le potentiel.,

en Supposant que ψ ( x ) ≈ − c x {\displaystyle \psi (x)\approx -cx} autour de x = 0 {\displaystyle x=0} , on peut écrire

ψ ‘ ( x ) = N { | ψ ( x ) | , | x | > ϵ , c ϵ , | x | ≤ ϵ , {\displaystyle \psi(x)=N{\begin{cas}|\psi (x)|,&|x|>\epsilon ,\\c\epsilon ,&|x|\leq \epsilon ,\end{cas}}}

où N = 1 1 + 4 3 | c | 2 ϵ 3 {\displaystyle N={\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {4}{3}}|c|^{2}\epsilon ^{3}}}}} est la norme.,

d’autre part, dans l’intervalle x ∈ {\displaystyle x\in } nous avons

V avg ϵ ‘= ∫ − ϵ ϵ d x V ( x ) | ψ ‘ | 2 = ϵ 2 | c| 2 1 + 4 3 | c | 2 ϵ 3 ∫ − ϵ ϵ d x V ( x ) ≃ 2 ϵ 3 | c | 2 V ( 0 ) + ⋯ , {\displaystyle {V_{\text{avg}}^{\epsilon }}’=\int _{-\epsilon }^{\epsilon }dx\,V(x)|\psi ‘|^{2}={\frac {\epsilon ^{2}|c|^{2}}{1+{\frac {4}{3}}|c|^{2}\epsilon ^{3}}}\int _{-\epsilon }^{\epsilon }dx\,V(x)\simeq 2\epsilon ^{3}|c|^{2}V(0)+\cdots ,}

ce qui tient à l’ordre ϵ 3 {\displaystyle \epsilon ^{3}} .,

Cependant, la contribution de l’énergie potentielle de cette région pour l’état ψ avec un nœud est

V avg ϵ = ∫ − ϵ ϵ d x V ( x ) | ψ | 2 = | c | 2 ∫ − ϵ ϵ d x x 2 V ( x ) ≃ 2 3 ϵ 3 | c | 2 V ( 0 ) + ⋯ , {\displaystyle V_{\text{avg}}^{\epsilon }=\int _{-\epsilon }^{\epsilon }dx\,V(x)|\psi |^{2}=|c|^{2}\int _{-\epsilon }^{\epsilon }dx\,x^{2}V(x)\simeq {\frac {2}{3}}\epsilon ^{3}|c|^{2}V(0)+\cdots ,}

On peut donc supprimer tous les nœuds et réduire la consommation d’énergie par O ( ϵ ) {\displaystyle O(\epsilon )} , ce qui implique que ψ’ ne peut pas être le terrain de l’état., Ainsi, la fonction d’onde à l’état fondamental ne peut pas avoir de nœud. Ceci termine la preuve. (L’énergie moyenne peut alors être encore abaissée en éliminant les ondulations, jusqu’au minimum absolu variationnel.)

ImplicationEdit

comme l’état fondamental n’a pas de nœuds, il est spatialement Non dégénéré, c’est-à-dire qu’il n’y a pas deux états quantiques stationnaires avec la valeur propre de l’énergie de l’état fondamental (nommons-le par exemple {\displaystyle E_{g}}) et le même état de spin et, | ψ 1 (x 0, 0 | / 2 + / ψ 2 ( x 0 , 0 ) | 2 > 0 {\displaystyle a={\sqrt {/\psi _{1} (x_{0},0)|^{2}+|\psi _{2} (x_{0},0)|^{2}}}>0\,} (selon la prémisse pas de nœuds)

notez que l’état fondamental pourrait être dégénéré en raison de différents états de spin comme | ↓ {\displaystyle \left|\uparrow \right\rangle } et | ↓ {{\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle } tout en ayant la même fonction position-space wave: toute superposition de ces états créerait un État de spin un facteur commun des deux) inchangé.,