Sources et contenu des éléments

Euclide a compilé ses éléments à partir d’un certain nombre d’œuvres d’hommes antérieurs. Parmi ceux-ci se trouvent Hippocrate de Chios (prospère vers 440 avant notre ère), à ne pas confondre avec le médecin Hippocrate de Cos (vers 460-375 avant notre ère). Le dernier compilateur avant Euclide était Theudius, dont le manuel était utilisé à l’Académie et était probablement celui utilisé par Aristote (384-322 AEC). Les éléments plus anciens ont été à la fois remplacés par Euclide puis oubliés., Pour son sujet Euclide s’est sans doute inspiré de tous ses prédécesseurs, mais il est clair que toute la conception de son travail était la sienne, culminant dans la construction des cinq solides réguliers, maintenant connus sous le nom de solides platoniciens.

Une brève étude des éléments dément une croyance commune selon laquelle elle ne concerne que la géométrie. Cette idée fausse peut être causée par la lecture pas plus loin que les livres I à IV, qui couvrent la géométrie plane élémentaire., Euclide a compris que la construction d’une géométrie logique et rigoureuse (et des mathématiques) dépend du fondement—un fondement qu’Euclide a commencé dans le livre I avec 23 définitions (telles que « un point est ce qui n’a pas de partie” et « une ligne est une longueur sans largeur”), cinq hypothèses non prouvées qu’Euclide a appelées postulats (maintenant connus (Voir le tableau des 10 hypothèses initiales D’Euclide.) Le livre I prouve ensuite les théorèmes élémentaires sur les triangles et les parallélogrammes et se termine par le théorème de Pythagore., (Pour la preuve du théorème D’Euclide, voir L’encadré: preuve du Moulin À Vent D’Euclide.)

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axiomes d’Euclide l’
1 Étant donné deux points est une ligne droite qui les joint.
2 Un segment de droite peut être prolongée indéfiniment.,
3 Un cercle peut être construit quand un point en son centre et d’une distance de rayon sont donnés.
4 Tous les angles droits sont égaux.
5 Si une droite tombant sur deux droites fait les angles intérieurs du même côté, à moins de deux angles droits, les deux lignes droites, si elle est produite indéfiniment, rencontrer sur ce côté où les angles sont moins que les deux angles droits.,
Euclid des notions communes
6 Les choses égales à une même chose sont égales.
7 Si equals sont ajoutés à égale, les ensembles sont égaux.
8 Si est égal à la soustraction d’égal à égal, les restes sont égaux.
9 Choses qui coïncident l’un avec l’autre sont égaux.
10 Le tout est plus grand que la partie.,

le sujet du livre II a été appelé algèbre géométrique parce qu’il énonce les identités algébriques comme des théorèmes sur des figures géométriques équivalentes. Le livre II contient une construction de « la section », la division d’une ligne en deux parties de telle sorte que le rapport du plus grand au plus petit segment est égal au rapport de la ligne d’origine au plus grand segment. (Cette division a été renommée la section d’or à la Renaissance après que les artistes et les architectes ont redécouvert ses proportions agréables.,) Livre II généralise également le théorème de Pythagore aux triangles arbitraires, un résultat qui est équivalent à la loi des cosinus (voir trigonométrie plane). Le livre III traite des propriétés des cercles et le livre IV de la construction de polygones réguliers, en particulier du Pentagone.

Le Livre V se déplace de la géométrie plane pour exposer une théorie générale des rapports et des proportions qui est attribuée par Proclus (avec le livre XII) à Eudoxe de Cnide (C. 395/390–342/337 bce)., Alors que le livre V peut être lu indépendamment du reste des éléments, sa solution au problème des incommensurables (nombres irrationnels) est essentielle aux livres ultérieurs. En outre, il a formé la base d’une théorie géométrique des nombres jusqu’à ce qu’une théorie analytique se développe à la fin du 19ème siècle. Le livre VI applique cette théorie des rapports à la géométrie plane, principalement aux triangles et aux parallélogrammes, aboutissant à l ‘ « application des aires”, une procédure de résolution de problèmes quadratiques par des moyens géométriques.,

les livres VII–IX contiennent des éléments de la théorie des nombres, où le nombre (arithmos) signifie des entiers positifs supérieurs à 1. Commençant par 22 nouvelles définitions – telles que l’unité, pair, impair et premier—ces livres développent diverses propriétés des entiers positifs. Par exemple, le livre VII décrit une méthode, l’antanarésie (maintenant connue sous le nom d’algorithme euclidien), pour trouver le plus grand diviseur commun de deux nombres ou plus; le livre VIII examine les nombres dans des proportions continues, maintenant connues sous le nom de séquences géométriques (telles que ax, ax2, ax3, ax4…); et le livre IX prouve,

selon Proclus, les livres X et XIII incorporent le travail du pythagoricien Theaetetus (c. 417-369 AEC). Le livre X, qui comprend environ un quart des éléments, semble disproportionné par rapport à l’importance de sa classification des lignes et des zones incommensurables (bien que L’étude de ce livre inspirerait Johannes Kepler dans sa recherche d’un modèle cosmologique).

Les livres XI–XIII examinent les figures tridimensionnelles, en stéréométrie grecque. Le livre XI concerne les intersections des plans, des lignes et des parallélépipèdes (solides avec des parallélogrammes parallèles comme faces opposées)., Le livre XII applique la méthode D’épuisement d’Eudoxe pour prouver que les aires des cercles sont les unes aux autres comme les carrés de leurs diamètres et que les volumes des sphères sont les uns aux autres comme les cubes de leurs diamètres. Le livre XIII culmine avec la construction des cinq solides platoniciens réguliers (pyramide, cube, octaèdre, dodécaèdre, icosaèdre) dans une sphère donnée, comme indiqué dans l’animation.,

Platonique solides

ce sont les seuls géométrique des solides dont les faces sont composées de régulier, à l’identique des polygones. Placer le curseur sur chaque figure le montrera en animation.

Encyclopædia Britannica, Inc.

L’inégalité des différents livres et les niveaux mathématiques variés peuvent donner l’impression Qu’Euclide n’était qu’un éditeur de traités écrits par d’autres mathématiciens., Dans une certaine mesure, cela est certainement vrai, bien qu’il soit probablement impossible de déterminer quelles parties sont les siennes et quelles sont les adaptations de ses prédécesseurs. Les contemporains d’Euclide considéraient son travail comme final et faisant autorité; s’il fallait en dire plus, il devait s’agir de commentaires sur les éléments.