Fonctions d’une seule variablemodifier
1. Une fonction différentiable f est (strictement) concave sur un intervalle si et seulement si sa fonction dérivée f ‘ est (strictement) monotone Décroissante sur cet intervalle, c’est-à-dire qu’une fonction concave a une pente non croissante (Décroissante).
2. Les Points où la concavité change (entre concave et convexe) sont des points d’inflexion.
3. Si f est deux fois différentiable, alors f est concave si et seulement si f « est non positif (ou, officieusement, si l’ « accélération » est non positive)., Si sa dérivée seconde est négative, elle est strictement concave, mais l’inverse n’est pas vrai, comme le montre f(x) = −x4.
4. Si f est concave et différentiable, alors il est borné ci-dessus par son approximation de Taylor du premier ordre:
f ( y ) ≤ f ( x ) + f ‘( x ) {\displaystyle f(y)\leq f(x)+f'(x)}
5. Un centre henri lebesgue conjointement mesurables fonction sur un intervalle C est concave si et seulement si elle est le milieu concave, qui est, pour tout x et y dans C
f ( x + y 2 ) ≥ f ( x ) + f ( y ) 2 {\displaystyle f\left({\frac {x+y}{2}}\right)\geq {\frac {f(x)+f(y)}{2}}}
6., Si une fonction f est concave, et f(0) ≥ 0, alors f est subadditive sur [ 0 , ∞ ) {\displaystyle [0,\infty )} . La preuve:
f ( a ) + f ( b ) = f ( ( a + b ) a + b ) + f ( ( a + b ) b a + b ) ≥ a a + b f ( a + b ) + b a + b f ( a + b ) = f ( a + b ) {\displaystyle f(a)+f(b)=f\left((a+b){\frac {a}{a+b}}\right)+f\left((a+b){\frac {b}{a+b}}\right)\geq {\frac {a}{a+b}}f(a+b)+{\frac {b}{a+b}}f(a+b)=f(a+b)}
les Fonctions de n variablesEdit
1. Une fonction f est concave sur un ensemble convexe si et seulement si la fonction f est une fonction convexe sur l’ensemble.
2., La somme de deux fonctions concaves est elle-même concave, de même que le minimum ponctuel de deux fonctions concaves, c’est-à-dire que l’ensemble des fonctions concaves sur un domaine donné forme un demi-champ.
3. Près d’un maximum local à l’intérieur du domaine d’une fonction, la fonction doit être concave; comme un inverse partiel, si la dérivée d’une fonction strictement concave est nulle à un moment donné, alors ce point est un maximum local.
4. Tout maximum local d’une fonction concave est également un maximum global. Une fonction strictement concave aura au plus un maximum global.
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