Voir Aussi: Incenter

IncenterEdit

la distance entre le Sommet a {\displaystyle A} et l’incenter i {\displaystyle I} est:

d ( A , I ) = C sin ⁡ ( B 2 ) cos Co ( C 2 ) = B sin ⁡ (C 2 ) cos Co ( B 2 ) . {\displaystyle d(A,I)=c{\frac {\sin \left({\frac {B}{2}}\right)}{\cos \left({\frac {C}{2}}\right)}}=b{\frac {\sin \left({\frac {C}{2}}\right)}{\cos \left({\frac {B}{2}}\right)}}.,}

trilinear coordinatesEdit

Les coordonnées trilinéaires d’un point du triangle sont le rapport de toutes les distances aux côtés du triangle. Comme l’incenter est à la même distance de tous les côtés du triangle, les coordonnées trilinéaires de l’incenter sont

1 : 1 : 1. {\displaystyle \ 1:1:1.}

coordonnées Barycentricesedit

Les coordonnées barycentriques d’un point d’un triangle donnent des poids tels que le point est la moyenne pondérée des positions des sommets du triangle.,Coordonnées barycentriques pour le centre du cercle inscrit est donné par

a : b : c {\displaystyle \ a:b:c} péché ⁡ ( Une ) : le péché ⁡ ( B ) : le péché ⁡ ( C ) {\displaystyle \sin(A):\sin(B):\sin(C)}

lorsqu’Un {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , et C {\displaystyle C} sont les angles de trois sommets.

Cartésien coordinatesEdit

( x + b x b + c x c a + b + c , a, y + b y b + c y c a + b + c ) = a ( x a , y a ) + b ( x b , y b ) + c ( x c , y c ) a + b + c ., {\displaystyle \left({\frac {ax_{un}+bx_{b}+cx_{c}}{a+b+c}},{\frac {ay_{un}+by_{b}+cy_{c}}{a+b+c}}\right)={\frac {a\left(x_{a},y_{a}\right)+b\left(x_{b},y_{b}\right)+c\left(x_{c},y_{c}\right)}{a+b+c}}.}

RadiusEdit

r = ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) s , {\displaystyle r={\sqrt {\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}},}, où s = ( a + b + c ) / 2. {\displaystyle s=(a + b + c) / 2.}

Voir la formule de Heron.,

les Distances de verticesEdit

Indiquant le centre du cercle inscrit △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} comme je l’ai {\displaystyle I} , la distance entre le centre du cercle inscrit aux sommets combiné avec les longueurs des côtés du triangle obéir à l’équation

j’ai Une ⋅ I C A ⋅ B + I B ⋅ I B A B ⋅ B C + I C ⋅ I C B C ⋅ C = 1. {\displaystyle {\frac {IA\cdot IA}{CA\cdot AB}}+{\frac {IB\cdot IB}{AB\cdot BC}}+{\frac {IC\cdot IC}{BC\cdot CA}}=1.,}

de plus,

I A A I B ⋅ I C = 4 R R 2, {\displaystyle IA \ cdot IB \ cdot IC=4RR^{2},}

où R {\displaystyle R} et r {\displaystyle r} sont respectivement le circumradius et l’inradius du triangle.

autres propriétésmodifier

La collection de centres triangulaires peut recevoir la structure d’un groupe sous multiplication coordonnée de coordonnées trilinéaires; dans ce groupe, l’incentre forme l’élément identité.,

Incircle et ses propriétés de radiusedit

Distances entre le sommet et le point de contact le plus prochedit

Les distances entre un sommet et les deux points de contact les plus proches sont égales; par exemple:

d ( A , T B ) = d ( A , T C ) = 1 2 ( B + c − a ) . {\displaystyle d\left(A,T_{B}\right)=d\left(A,T_{C}\right)={\frac {1}{2}}(b+c-a).}

Autres propertiesEdit

r = x y z x + y + z {\displaystyle r={\sqrt {\frac {xyz}{x+y+z}}}}

et l’aire du triangle est

Δ = x y z ( x + y + z ) . {\displaystyle \Delta ={\sqrt {xyz(x+y+z)}}.} r = 1 1 h + 1 h b + 1 h c ., {\displaystyle r={\frac {1}{{\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}}}.} r R = a b c 2 ( a + b + c ) . {\displaystyle rR={\frac {abc}{2(a+b+c)}}.}

Some relations among the sides, incircle radius, and circumcircle radius are:

a b + b c + c a = s 2 + ( 4 R + r ) r , a 2 + b 2 + c 2 = 2 s 2 − 2 ( 4 R + r ) r . {\displaystyle {\begin{aligned}ab+bc+ca&=s^{2}+(4R+r)r,\\a^{2}+b^{2}+c^{2}&=2s^{2}-2(4R+r)r.,\end{aligned}}}

toute ligne traversant un triangle qui divise à la fois l’aire du triangle et son périmètre en deux passe par l’incentre du triangle (le centre de son cercle). Il y en a un, deux ou trois pour un triangle donné.

Indiquant le centre du cercle inscrit à △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} comme je l’ai {\displaystyle I} , nous avons

j’ai Une ⋅ I C A ⋅ B + I B ⋅ I B A B ⋅ B C + I C ⋅ I C B C ⋅ C A = 1 {\displaystyle {\frac {IA\cdot IA}{CA\cdot AB}}+{\frac {IB\cdot IB}{AB\cdot BC}}+{\frac {IC\cdot IC}{BC\cdot CA}}=1}

et:121,#84

j’ai Une ⋅ I B ⋅ I C = 4 R R 2 ., {\displaystyle IA \ cdot IB \ cdot IC=4RR^{2}.}

le rayon du cercle n’est pas supérieur à un neuvième de la somme des altitudes.:289

la distance au carré de l’incentre i {\displaystyle I} au circoncentre O {\displaystyle O} est donnée par:232

O I 2 = R ( R − 2 r ) {\displaystyle OI^{2}=R(R-2R)} ,

et la distance de l’incentre au centre N {\displaystyle N} du cercle à neuf points est:232

I N = 1 2 ( R − 2 R ) < 1 2 R. il est possible de créer un fichier dans le fichier suivant: »4288ba98fb »>{\frac {1} {2}} R.,}

l’incentre se trouve dans le triangle médial (dont les sommets sont les points médians des côtés).:233, Lemme 1

Rapport à la zone de la triangleEdit

Δ = 1 2 ( a + b + c ) r = s r , {\displaystyle \Delta ={\frac {1}{2}}(a+b+c)r=sr,} et r = Δ s , {\displaystyle r={\frac {\Delta }{s}},} Δ = r 2 ( lit ⁡ ( 2 ) + lit de bébé ⁡ ( B 2 ) + lit de bébé ⁡ ( C 2 ) ) . {\displaystyle \Delta =r^{2}\left(\cot \left({\frac {A}{2}}\right)+\cot \left({\frac {B}{2}}\right)+\cot \left({\frac {C}{2}}\right)\right).,}

triangle de Gergonne et pointEdit

K T = K 2 r 2 S A B C {\displaystyle K_{T}=K{\frac {2R^{2} s} {abc}}}

le point de Gergonne d’un triangle possède un certain nombre de propriétés, notamment qu’il est le point symmédien du triangle de Gergonne.,

Trilinéaire coordonnées des sommets de la intouch triangle sont donnés par

Trilinéaire coordonnées pour le point de Gergonne sont donnés par

sec 2 ⁡ ( 2 ) : sec 2 ⁡ ( B 2 ) : sec 2 ⁡ ( C 2 ) , {\displaystyle \sec ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):\sec ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):\sec ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right),}

ou, de manière équivalente, par la Loi des Sinus,

b c b + c − a : c a c + a − b : a b a + b − c . {\displaystyle {\frac {bc}{b+c-a}}:{\frac {ca}{c+a-b}}:{\frac {ab}{a+b-c}}.}