un guide visuel et intuitif pour les nombres imaginaires

Les nombres imaginaires m’ont toujours confondu. Comme comprendre e, la plupart des explications sont tombées dans l’une des deux catégories:

• c’est une abstraction mathématique, et les équations fonctionnent. Traiter avec elle.
• Il est utilisé en physique avancée, faites-nous confiance. Juste attendre jusqu’à ce collège.

Hum, quelle belle façon d’encourager les mathématiques dans les enfants! Aujourd’hui, nous allons attaquer ce sujet avec nos outils préférés:

• En nous concentrant sur les relations, pas sur les formules mécaniques.,
• voir les nombres complexes comme une mise à niveau de notre système de nombres, tout comme zéro, décimales et négatives étaient.
• utiliser des diagrammes visuels, pas seulement du texte, pour comprendre l’idée.

et notre arme secrète: apprendre par analogie. Nous aborderons les nombres imaginaires en observant son ancêtre, les négatifs. Voici votre guide:

Ça n’a pas de sens, mais accrochez-vous. À la fin, nous allons traquer i et le mettre dans un headlock, au lieu de l’inverse.,

procédure pas à Pas vidéo:

vraiment comprendre les nombres négatifs

Les nombres négatifs ne sont pas faciles. Imaginez que vous êtes un mathématicien européen dans les années 1700. vous avez 3 et 4, et savez que vous pouvez écrire 4 – 3 = 1. Simple.

mais qu’en est-il de 3-4? Ce qui, exactement, est-ce à dire? Comment pouvez-vous prendre 4 vaches de 3? Comment as-tu pu avoir moins que rien?

Les négatifs étaient considérés comme absurdes, ce qui « assombrissait toute la doctrine des équations” (Francis Maseres, 1759). Pourtant, aujourd’hui, il serait absurde de penser que les négatifs ne sont ni logiques ni utiles., Essayez de demander à votre professeur si les négatifs corrompent les fondements mêmes des mathématiques.

Ce qui s’est passé? Nous avons inventé un nombre théorique qui avait des propriétés utiles. Les négatifs ne sont pas quelque chose que nous pouvons toucher ou retenir, mais ils décrivent bien certaines relations (comme la dette). C’était une fiction utile.

plutôt que de dire « je te dois 30” et de lire des mots pour voir si je suis en haut ou en bas, je peux écrire « -30” et savoir que cela signifie que je suis dans le trou. Si je gagne de l’argent et paie mes dettes (-30 + 100 = 70), je peux enregistrer la transaction facilement. J’ai +70 après, ce qui signifie que je suis en clair.,

Les signes positifs et négatifs suivent automatiquement la direction — vous n’avez pas besoin d’une phrase pour décrire l’impact de chaque transaction. Les mathématiques sont devenues plus faciles, plus élégantes. Peu importe si les négatifs étaient « tangibles » – ils avaient des propriétés utiles, et nous les avons utilisés jusqu’à ce qu’ils deviennent des objets de tous les jours. Aujourd’hui, vous traiteriez quelqu’un de noms obscènes s’il ne « recevait” pas de négatifs.

mais ne soyons pas satisfaits de la lutte: les nombres négatifs ont été un énorme changement mental. Même Euler, le génie qui a découvert e et bien plus encore, ne comprenait pas les négatifs comme nous le faisons aujourd’hui., Ils ont été considérés comme des résultats” dénués de sens  » (il a ensuite compensé cela avec style).

c’est un témoignage de notre potentiel mental que les enfants d’aujourd’hui sont censés comprendre des idées qui confondaient autrefois les mathématiciens anciens.

Entrez les Nombres Imaginaires

les nombres Imaginaires ont une histoire similaire. Nous pouvons résoudre des équations comme celle-ci toute la journée:

les réponses sont 3 et -3. Mais supposons qu’un certain wiseguy mette un minuscule signe moins:

euh oh. Cette question fait grincer des dents la plupart des gens la première fois qu’ils la voient., Vous voulez la racine carrée d’un nombre inférieur à zéro? C’est absurde! (Historiquement, il y avait de vraies questions à répondre, mais j’aime imaginer un sage.)

cela semble fou, tout comme les négatifs, zéro et les irrationnels (nombres non répétitifs) doivent avoir semblé fous au début. Il n’y a pas de « vrai” sens à cette question, non?

Mal. Les soi-disant” nombres imaginaires  » sont aussi normaux que tous les autres nombres (ou tout aussi faux): ils sont un outil pour décrire le monde. Dans le même esprit de supposer -1,.,3, et 0 « existent », supposons qu’un certain nombre i existe où:

C’est-à-dire que vous multipliez i par lui-même pour obtenir -1. Ce qui se passe maintenant?

Eh bien, nous avons d’abord mal à la tête. Mais jouer au jeu « faisons semblant d’exister » rend les mathématiques plus faciles et plus élégantes. De nouvelles relations émergent que nous pouvons décrire avec facilité.

Vous ne croyez peut-être pas en i, tout comme ces vieux mathématiciens fuddy ne croyaient pas en -1. Les nouveaux concepts qui tordent le cerveau sont difficiles et ils n’ont pas de sens immédiatement, même pour Euler., Mais comme les négatifs nous l’ont montré, des concepts étranges peuvent toujours être utiles.

je n’aime pas le terme « nombre imaginaire” — il était considéré comme une insulte, une insulte, conçue pour blesser mes sentiments. Le nombre i est tout aussi normal que les autres nombres, mais le nom « imaginaire” est resté donc nous l’utiliserons.

la Compréhension Visuelle de Négatifs et les Nombres Complexes

Comme nous l’avons vu la dernière fois, l’équation $x^2 = 9$ signifie vraiment:

ou

Quelle transformation x, lorsqu’il est appliqué deux fois, les tours 1 à 9?,

Les deux réponses sont « x = 3” et « x = -3”: C’est-à-dire que vous pouvez « scale by” 3 ou « scale by 3 and flip” (retourner ou prendre le contraire est une interprétation de la multiplication par un négatif).

maintenant, pensons à $x^2 = -1$, qui est vraiment

quelle transformation x, lorsqu’elle est appliquée deux fois, transforme 1 en -1? Hrm.,

• on ne peut pas multiplier par un positif deux fois, parce que le résultat reste positif
• on ne peut pas multiplier par un négatif deux fois, parce que le résultat retournera positif à la deuxième multiplication

Mais qu’en est-il… d’une rotation! Cela semble fou, mais si nous imaginons que x est une « rotation de 90 degrés”, alors appliquer x Deux fois sera une rotation de 180 degrés, ou un retournement de 1 à -1!

Yowza! Et si nous y pensons plus, nous pourrions tourner deux fois dans l’autre sens (sens horaire) pour activer 1 en -1., Il s’agit d’une rotation” négative »ou d’une multiplication par-i:

Si nous multiplions par-i deux fois, la première multiplication transformerait 1 EN-i et la seconde EN-i en -1. Il y a donc vraiment deux racines carrées de -1: i et-I.

c’est plutôt cool. Nous avons une sorte de réponse, mais qu’est-ce que cela signifie?,

• i est une « nouvelle dimension imaginaire” pour mesurer un nombre
• i (ou-i) est ce que les nombres « deviennent” lorsqu’ils sont tournés
• multiplier i est une rotation de 90 degrés dans le sens antihoraire
• multiplier par-i est une rotation de 90 degrés dans le sens des aiguilles d’une montre
• deux rotations dans les deux sens sont -1: cela nous ramène aux dimensions « régulières” des nombres positifs et négatifs.

Les nombres sont à 2 dimensions. Oui, c’est hallucinant, tout comme les décimales ou la division longue seraient hallucinantes pour un ancien Romain. (Que voulez-vous dire qu’il y a un nombre entre 1 et 2?)., C’est une étrange et nouvelle façon de penser les mathématiques.

nous avons demandé « comment transformer 1 En -1 en deux étapes? »et a trouvé une réponse: faites-le pivoter de 90 degrés. C’est une étrange et nouvelle façon de penser les mathématiques. Mais il est utile. (En passant, cette interprétation géométrique des nombres complexes n’est arrivée que des décennies après ma découverte).

gardez également à l’esprit que le fait d’être positif dans le sens inverse des aiguilles d’une montre est une convention humaine-cela aurait facilement pu être l’inverse.

trouver des modèles

plongeons un peu dans les détails., Lorsque vous multipliez des nombres négatifs (comme -1), vous obtenez un motif:

• 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1

puisque -1 ne change pas la taille d’un nombre, juste le signe, vous retournez d’avant en arrière. Pour un nombre « x”, j’obtiens:

• x, -x, x, x, x, -x…

Cette idée est utile. Le nombre  » x  » peut représenter une bonne ou une mauvaise semaine de cheveux. Supposons que les semaines alternent entre bonnes et mauvaises; c’est une bonne semaine; à quoi ressemblera-t-elle dans 47 semaines?

Donc -x signifie un mauvais cheveux de la semaine., Remarquez comment les nombres négatifs  » gardent une trace du signe”: nous pouvons jeter $(-1)^{47}$ dans une calculatrice sans avoir à compter (« la semaine 1 est bonne, la semaine 2 est mauvaise week la semaine 3 est bonne… »). Les choses qui vont et viennent peuvent être bien modélisées avec des nombres négatifs.

Ok. Maintenant, que se passe – t-il si nous continuons à multiplier par i Je??

Très drôle. Laissez réduire un peu ceci:

Représenté visuellement:

Nous le vélo tous les 4e rotation. C’est logique, non? N’importe quel enfant peut vous dire que 4 virages à gauche est la même chose que pas de virages du tout., Maintenant, plutôt que de se concentrer sur les nombres imaginaires (i i$, i i^2 2), regardez le modèle général:

• X, Y, -X, -Y, X, Y, -X, -Y

comme les nombres négatifs modélisant le retournement, les nombres imaginaires peuvent modéliser tout ce qui tourne entre deux dimensions « X” et « Y”. Ou quoi que ce soit avec une relation cyclique et circulaire-avez-vous quelque chose en tête?

‘parce que ce serait un péché si vous ne l’avez pas fait. il y aura de Moivre plus dans les prochains articles.

comprendre les nombres complexes

Il y a un autre détail à couvrir: un nombre peut-il être à la fois « réel” et « imaginaire”?

vous pariez., Qui a dit que nous devions faire pivoter l’ensemble de 90 degrés? Si nous gardons 1 pied dans la dimension « réelle” et un autre dans l’imaginaire, cela ressemble à ceci:

Nous sommes à un angle de 45 degrés, avec des parties égales dans le réel et l’imaginaire (1 + i). C’est comme un hot — dog avec de la moutarde et du ketchup-qui a dit que vous deviez choisir?

en fait, nous pouvons choisir n’importe quelle combinaison de nombres réels et imaginaires et faire un triangle. L’angle devient « l’angle de rotation”. Un nombre complexe est le nom de fantaisie pour les nombres avec des parties réelles et imaginaires., Ils sont écrits a + bi, où

• a est la partie réelle
• b est la partie imaginaire

Pas trop mal. Mais il y a une dernière question: à quel point un nombre complexe est-il” grand »? Nous ne pouvons pas mesurer la partie réelle ou les parties imaginaires isolément, car cela manquerait la grande image.

revenons en arrière. La taille d’un nombre négatif n’est pas si vous pouvez le Compter — c’est la distance de zéro. Dans le cas de négatifs c’est:

ce Qui est une autre façon de trouver la valeur absolue., Mais pour les nombres complexes, Comment mesurer deux composantes à des angles de 90 degrés?

C’est un oiseau… c’est un avion… c’est Pythagore!

Geez, son théorème apparaît partout, même dans les nombres inventés 2000 ans après son époque. Oui, nous faisons un triangle de toutes sortes, et l’hypoténuse est la distance à partir de zéro:

Soignée. Bien que mesurer la taille ne soit pas aussi facile que de « laisser tomber le signe négatif”, les nombres complexes ont leurs utilisations. Jetons un coup d’oeil.,

un exemple réel: les Rotations

Nous n’allons pas attendre la physique universitaire pour utiliser des nombres imaginaires. Nous allons essayer aujourd’hui. Il y a beaucoup plus à dire sur la multiplication complexe, mais gardez cela à l’esprit:

• La multiplication par un nombre complexe tourne selon son angle

jetons un coup d’œil. Supposons que je sois sur un bateau, avec un cap de 3 unités est pour chaque 4 unités Nord. Je veux changer mon CAP de 45 degrés dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Quel est le nouveau titre?

Certains hotshot va dire « C’est simple!, Il suffit de prendre le sinus, cosinus, gobbledegook par la tangente flu fluxsom le foobar and et… ». Fissure. Désolé, je n’ai casser votre calculatrice? Tu veux encore répondre à cette question?

essayons une approche plus simple: nous sommes sur un cap de 3 + 4i (quel que soit cet angle; Nous ne nous en soucions pas vraiment), et voulons tourner de 45 degrés. Eh bien, 45 degrés est 1 + i (diagonale parfaite), donc nous pouvons multiplier par ce montant!,

Voici l’idée:

Si nous les multiplions ensemble, nous obtenons:

notre nouvelle orientation est donc 1 unité Ouest (-1 Est) et 7 unités Nord, que vous pourriez dessiner et suivre.

mais yowza! Nous avons découvert cela en 10 secondes, sans toucher le sinus ou le cosinus. Il n’y avait pas de vecteurs, de matrices ou de suivi du quadrant dans lequel nous nous trouvons. C’était juste de l’arithmétique avec une touche d’algèbre pour croiser-multiplier. Les nombres imaginaires ont les règles de rotation cuites: cela fonctionne juste.

Non, vous le convertisseriez en cosinus et sinus (-.,14 et .99), trouver un rapport raisonnable entre eux (environ 1 à 7), et esquisser le triangle. Les nombres complexes vous battent, instantanément, avec précision et sans calculatrice.

Si vous êtes comme moi, vous trouverez cette utilisation hallucinante. Et si vous ne le faites pas, eh bien, j’ai bien peur que les maths ne vous foutent pas la corne. Désolé.

la trigonométrie est excellente, mais les nombres complexes peuvent rendre les calculs laids simples (comme le calcul du cosinus(A+b) ). Ceci est juste un aperçu; les articles ultérieurs vous donneront le repas complet.,

à part: certaines personnes pensent  » Hé, ce n’est pas utile d’avoir des titres Nord/Est au lieu d’un angle de degré à suivre! »

vraiment? Ok, regardez votre main droite. Quel est l’angle entre le bas de votre petit doigt et le haut de votre index? Bonne chance de comprendre cela par vous-même.

avec un titre, vous pouvez au moins dire « Oh, C’est X pouces de Travers et y pouces de haut” et avoir une chance de travailler avec ce roulement.

les Nombres Complexes ne Sont pas

C’était une visite éclair de mes idées de base. Jetez un œil au premier tableau — cela devrait avoir du sens maintenant.,

Il y a tellement plus à ces beaux chiffres loufoques, mais mon cerveau est fatigué. Mes objectifs étaient simples:

• Vous convaincre que les nombres complexes étaient considérés comme « fous” mais peuvent être utiles (tout comme les nombres négatifs l’étaient)
• montrer comment les nombres complexes peuvent faciliter certains problèmes, comme les rotations

Si je semble chaud et dérangé par ce sujet, il y a une raison. Les nombres imaginaires ont été une abeille dans mon bonnet pendant des années-le manque de perspicacité intuitive m’a frustré.

maintenant que j’ai enfin eu des idées, je suis en train de les partager., Mais cela me frustre que vous lisiez ceci sur le blog d’un fou aux yeux sauvages, et pas dans une salle de classe. Nous étouffons nos questions et « chuchotons” — parce que nous ne recherchons pas et ne partageons pas des idées claires et intuitives. Egad.

Mais mieux vaut allumer une bougie que de maudire l’obscurité: voici mes pensées, et l’un de vous mettre en vedette. Penser que nous avons « compris” un sujet comme les nombres est ce qui nous maintient dans le pays des chiffres romains.

Il y a beaucoup plus de nombres complexes: découvrez les détails complexes de l’arithmétique. Heureux de mathématiques.

Epilogue: mais ils sont toujours étranges!,

je sais, ils sont toujours étranges pour moi aussi. J’essaie de me mettre dans l’esprit de la première personne à découvrir zéro.

Zéro est une idée si étrange, avoir « quelque chose” représente « rien”, et cela a échappé aux Romains. Les nombres complexes sont similaires, c’est une nouvelle façon de penser. Mais les nombres nuls et complexes rendent les mathématiques beaucoup plus faciles. Si nous n’adoptions jamais de nouveaux systèmes de numération étranges, nous compterions toujours sur nos doigts.

je répète cette analogie parce qu’il est si facile de commencer à penser que les nombres complexes ne sont pas « normaux”., Gardons notre esprit ouvert: à l’avenir, ils se moqueront que les nombres complexes étaient autrefois méfiants, même jusqu’aux années 2000.

Si vous voulez plus de détails, consultez wikipedia, la discussion du Dr.Math, ou un autre argument sur les raisons pour lesquelles les nombres imaginaires existent.,

autres articles de cette série

1. Un guide visuel et intuitif des nombres imaginaires
2. arithmétique Intuitive avec des nombres complexes
3. comprendre pourquoi la Multiplication complexe fonctionne
4. Guide intuitif des Angles, des degrés et des Radians
5. compréhension Intuitive de la formule d’Euler
6. Un Guide interactif de la Transformée de Fourier
7. Guide intuitif/li>
8. Un guide intuitif de L’algèbre linéaire
9. l’intuition d’un programmeur pour la multiplication matricielle
10. multiplication imaginaire vs., Exposants imaginaires