funciones de una sola variableditar

1. Una función diferenciable f es (estrictamente) cóncava en un intervalo si y solo si su función derivada f ‘ es (estrictamente) monótonamente decreciente en ese intervalo, es decir, una función cóncava tiene una pendiente No creciente (decreciente).

2. Los puntos donde cambia la concavidad (entre Cóncavo y convexo) son puntos de inflexión.

3. Si f es dos veces diferenciable, entonces f es cóncava si y solo si f » no es positiva (o, informalmente, si la «aceleración» no es positiva)., Si su segunda derivada es negativa entonces es estrictamente cóncava, pero la inversa no es verdadera, como se muestra por f (x) = – x4.

4. Si f es cóncava y diferenciable, entonces está limitada por arriba por su aproximación de Taylor de primer orden:

f ( y) ≤ f ( x) + f ‘(x) {\displaystyle F(y)\leq f(x)+f'(x)}

5. Un Lebesgue medibles función en un intervalo C es cóncava si y sólo si es punto medio cóncava, es decir, para cualquier x e y en el C

f ( x + y 2 ) ≥ f ( x ) + f ( y ) 2 {\displaystyle f\left({\frac {x+y}{2}}\right)\geq {\frac {f(x)+f(y)}{2}}}

6., Si una función f es cóncava, y f (0) ≥ 0, entonces f es subaditiva en [ 0,∞) {\displaystyle [0, \ infty)}. Prueba:

f ( a ) + f ( b ) = f ( ( a + b ) a + b ) + f ( ( a + b ) b a + b ) ≥ a a + b f ( a + b ) + b a + b f ( a + b ) = f ( a + b ) {\displaystyle f(a)+f(b)=f\left((a+b){\frac {a}{a+b}}\derecho)+f\left((a+b){\frac {b}{a+b}}\right)\geq {\frac {a}{a+b}}f(a+b)+{\frac {b}{a+b}}f(a+b)=f(a+b)}

Funciones de n variablesEdit

1. Una función f es cóncava sobre un conjunto convexo si y sólo si la función f es una función convexa del conjunto.

2., La suma de dos funciones cóncavas es en sí misma cóncava y también lo es el mínimo de dos funciones cóncavas, es decir, el conjunto de funciones cóncavas en un dominio dado forma un semifield.

3. Cerca de un máximo local en el interior del dominio de una función, la función debe ser cóncava; como inverso parcial, si la derivada de una función estrictamente cóncava es cero en algún punto, entonces ese punto es un máximo local.

4. Cualquier máximo local de una función cóncava es también un máximo global. Una función estrictamente cóncava tendrá como máximo un máximo global.