Véase también: Incenter

IncenterEdit

la distancia desde el vértice A {\displaystyle A} al incenter i {\displaystyle i} ES:

d ( A , I ) = C sin ⁡ ( b 2 ) cos ⁡ ( C 2 ) = B sin ⁡ ( C 2 ) cos ⁡ ( B 2 ) . {\displaystyle d(a,I)=c{\frac {\sin \left({\frac {B}{2}}\right)}{\cos \left({\frac {C}{2}}\right)}}=b{\frac {\sin \left({\frac {C}{2}}\right)}{\cos \left({\frac {B}{2}}\right)}}.,}

coordenadas Trilinealeseditar

Las coordenadas trilineales para un punto en el triángulo es la relación de todas las distancias a los lados del triángulo. Debido a que el incentro está a la misma distancia de todos los lados del triángulo, Las coordenadas trilineales para el incentro son

1 : 1 : 1. {\displaystyle \ 1:1:1.}

coordenadas Baricéntricaseditar

Las coordenadas baricéntricas para un punto en un triángulo dan Pesos tales que el punto es el promedio ponderado de las posiciones del vértice del triángulo.,Baricéntrico coordenadas del incentro está dada por

a : b : c {\displaystyle \ a:b:c} pecado ⁡ ( A ) : el pecado ⁡ ( B ) : el pecado ⁡ ( C ) {\displaystyle \sin(Un):\sin(B):\sin(C)}

donde a {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , y C {\displaystyle C} son los ángulos en los tres vértices.

Cartesiano coordinatesEdit

( a x a + b x b + c x c a + b + c , a y a + b y b + c a s c a + b + c ) = a ( x a , y a ) + b ( x b , y b ) + c ( x c , y c ) a + b + c ., {\displaystyle \left({\frac {ax_{a}+bx_{b}+cx_{c}}{a+b+c}},{\frac {ay_{a}+by_{b}+cy_{c}}{a+b+c}}\right)={\frac {a\left(x_{a},y_{un}\derecho)+b\left(x_{b},y_{b}\derecho)+c\left(x_{c},y_{c}\right)}{a+b+c}}.}

RadiusEdit

r = ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) s , {\displaystyle r={\sqrt {\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}},}, donde s = ( a + b + c ) / 2. {\displaystyle S=(A+b+c)/2.}

Ver la fórmula de Heron.,

distancias a los verticeseditar

denotando el incentro de A A B C {\displaystyle \triángulo ABC} como I {\displaystyle I} , las distancias desde el incentro a los vértices combinadas con las longitudes de los lados del triángulo obedecen a la ecuación

i a ⋅ i A C A ⋅ A B + I B ⋅ I B A B ⋅ B C + I C ⋅ I C B C ⋅ C a = 1. {\displaystyle {\frac {IA\cdot IA}{CA\cdot AB}}+{\frac {IB\cdot IB}{AB\cdot BC}}+{\frac {IC\cdot IC}{BC\cdot CA}}=1.,}

Además,

I A ⋅ I B ⋅ I C = 4 R r 2 , {\displaystyle IA\cdot IB\cdot IC=4Rr^{2},}

donde R {\displaystyle R} y r {\displaystyle R} son el circunradio y el inradio del triángulo respectivamente.

otras propiedadeditar

a la colección de centros triangulares se le puede dar la estructura de un grupo bajo la multiplicación de coordenadas trilineales; en este grupo, el incentro forma el elemento de identidad.,

Incircle and its radius propertiesEdit

Distances between vertex and nearest touchpointsEdit

las distancias desde un vértice a los dos puntos de contacto más cercanos son iguales; por ejemplo:

D ( A , T B ) = d ( A , T C ) = 1 2 ( b + c − a ) . {\displaystyle d\left (a, T_{B} \ right)=d\left(a,T_{C}\right)={\frac {1}{2}}(b+c-a).}

Otros propertiesEdit

r = x y z x + y + z {\displaystyle r={\sqrt {\frac {xyz}{x+y+z}}}}

y el área del triángulo es

Δ = x y z ( x + y + z ) . {\displaystyle \ Delta = {\sqrt {xyz(x+Y+z)}}.} r = 1 1 h a + 1 h b + 1 H C., {\displaystyle r={\frac {1}{{\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}}}.} r R = a b c 2 ( a + b + c ) . {\displaystyle rR={\frac {abc}{2(a+b+c)}}.}

Some relations among the sides, incircle radius, and circumcircle radius are:

a b + b c + c a = s 2 + ( 4 R + r ) r , a 2 + b 2 + c 2 = 2 s 2 − 2 ( 4 R + r ) r . {\displaystyle {\begin{aligned}ab+bc+ca&=s^{2}+(4R+r)r,\\a^{2}+b^{2}+c^{2}&=2s^{2}-2(4R+r)r.,\end{aligned}}}

cualquier línea a través de un triángulo que divide tanto el área del triángulo como su perímetro por la mitad pasa por el incentro del triángulo (el Centro de su circunferencia inscrita). Hay uno, dos, o tres de estos para cualquier triángulo dado.

Denota el centro de la circunferencia inscrita de △ a B C {\displaystyle \triángulo ABC} como yo {\displaystyle I} , tenemos

I ⋅ I a C a ⋅ B + I B ⋅ I B a B ⋅ B C + I C ⋅ I C a B C ⋅ C = 1 y {\displaystyle {\frac {IA\cdot IA}{CA\cdot AB}}+{\frac {IB\cdot IB}{AB\cdot BC}}+{\frac {IC\cdot IC}{BC\cdot CA}}=1}

y:121,#84

I ⋅ I B ⋅ I C = 4 R R 2 ., {\displaystyle IA \ cdot IB\cdot IC = 4RR^{2}.}

el radio del circunferencia inscrita no es mayor que un noveno la suma de las altitudes.:289

el cuadrado de La distancia del incentro I {\displaystyle I} para el circuncentro O {\displaystyle O} está dada por:232

O I 2 = R ( R − 2 r ) {\displaystyle OI^{2}=R(R-2r)} ,

y la distancia del incentro del centro N {\displaystyle N} de los nueve punto del círculo es:232

I N = 1 2 ( R − 2 r ) < 1 2 R . {\displaystyle IN = {\frac {1}{2}} (R-2R)< {\frac {1} {2}}R.,}

el incentro se encuentra en el triángulo medial (cuyos vértices son los puntos medios de los lados).: 233, lema 1

relación con el área del triánguloeditar

Δ = 1 2 ( a + b + c ) r = s r , {\displaystyle \Delta ={\frac {1}{2}} (A+b + c)r=sr,} y r = Δ s, {\displaystyle R = {\frac {\Delta} {s}},} Δ = r 2 (cot ⁡ (a 2 ) + cot ⁡ (B 2 ) + cot ⁡ (C 2)). {\displaystyle \ Delta = R^{2} \ left (\cot\left ({\frac {a}{2}}\right)+\cot\left ({\frac {B}{2}}\right)+\cot\left ({\frac {C}{2}}\right) \ right).,}

triángulo de Gergonne y pointEdit

K T = K 2 r 2 s a b c {\displaystyle K_{T}=K{\frac {2R^{2}s}{abc}}}

el punto de Gergonne de un triángulo tiene un número de propiedades, incluyendo que es el punto simediano del triángulo de Gergonne.,

Las coordenadas Trilineales para los vértices del triángulo intouch están dadas por

Las coordenadas Trilineales para el punto de Gergonne están dadas por

sec 2 ⁡ ( a 2 ) : sec 2 ⁡ ( B 2 ) : sec 2 ⁡ ( C 2 ) , {\displaystyle \sec ^{2}\left({\frac {a}{2}}\right):\sec ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):\sec ^{2} {2}\Left ({\frac{C} {2}}\right),}

o, equivalentemente, por la Ley de senos,

b c b + c − A : C a c + A − b : a b a + b − c. {\displaystyle {\frac {bc}{b+c-a}}:{\frac {ca}{c+a-b}}:{\frac {ab}{a+b-c}}.}