Fonti e contenuti degli elementi

Euclide compilò i suoi elementi da una serie di opere di uomini precedenti. Tra questi ci sono Ippocrate di Chio (fiorito c. 440 ac), da non confondere con il medico Ippocrate di Cos (c. 460-375 ac). L’ultimo compilatore prima di Euclide era Teudio, il cui libro di testo era usato nell’Accademia ed era probabilmente quello usato da Aristotele (384-322 a.C.). Gli elementi più vecchi furono immediatamente sostituiti da Euclide e poi dimenticati., Per il suo soggetto Euclide senza dubbio ha attirato su tutti i suoi predecessori, ma è chiaro che l’intero disegno del suo lavoro è stato il suo, che si conclude con la costruzione dei cinque solidi regolari, ora noto come il platonico solidi.

Una breve indagine degli elementi smentisce una credenza comune che riguarda solo la geometria. Questo equivoco può essere causato dalla lettura non oltre i libri da I a IV, che coprono la geometria piana elementare., Euclide capito che la costruzione di una rigorosa geometria (e la matematica), dipende dalla foundation, una fondazione che Euclide ha iniziato a Libro con 23 definizioni (come “un punto è ciò che non ha parte” e “una linea è una lunghezza senza larghezza”), cinque assunti non dimostrati che Euclide chiamato postulati (ora conosciuto come assiomi), e altri cinque assunti non dimostrati che ha chiamato nozioni comuni. (Vedi la tabella delle 10 ipotesi iniziali di Euclide.) Libro I poi dimostra teoremi elementari su triangoli e parallelogrammi e termina con il teorema di Pitagora., (Per la dimostrazione del teorema di Euclide, vedi la barra laterale: La prova del mulino a vento di Euclide.)

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Euclide assiomi
1 Dati due punti è una linea retta che li unisce.
2 Un segmento di linea retta può essere prolungato indefinitamente.,
3 Un cerchio può essere costruito quando sono indicati un punto per il suo centro e una distanza per il suo raggio.
4 Tutti gli angoli retti sono uguali.
5 Se una retta che cade su due rette rende gli angoli interni dello stesso lato meno di due retti, le due rette, se prodotte indefinitamente, si incontrano su quel lato su cui gli angoli sono inferiori ai due retti.,
Euclide nozioni comuni
6 Le cose uguali ad una stessa cosa sono uguali.
7 Se gli uguali vengono aggiunti agli uguali, gli interi sono uguali.
8 Se gli uguali vengono sottratti dagli uguali, i resti sono uguali.
9 Le cose che coincidono tra loro sono uguali.
10 Il tutto è maggiore di una parte.,

Il soggetto del libro II è stato chiamato algebra geometrica perché afferma le identità algebriche come teoremi su figure geometriche equivalenti. Il libro II contiene una costruzione della “sezione”, la divisione di una linea in due parti in modo tale che il rapporto tra il segmento più grande e il segmento più piccolo sia uguale al rapporto tra la linea originale e il segmento più grande. (Questa divisione è stata ribattezzata la sezione aurea nel Rinascimento dopo che artisti e architetti hanno riscoperto le sue proporzioni piacevoli.,) Il libro II generalizza anche il teorema di Pitagora a triangoli arbitrari, un risultato che è equivalente alla legge dei coseni (vedi trigonometria piana). Il libro III si occupa delle proprietà dei cerchi e il libro IV della costruzione di poligoni regolari, in particolare del pentagono.

Il libro V si sposta dalla geometria piana per esporre una teoria generale dei rapporti e delle proporzioni che è attribuita da Proclo (insieme al libro XII) a Eudosso di Cnido (c. 395/390–342/337 a.C.)., Mentre il Libro V può essere letto indipendentemente dal resto degli Elementi, la sua soluzione al problema degli incommensurabili (numeri irrazionali) è essenziale per i libri successivi. Inoltre, ha costituito la base per una teoria geometrica dei numeri fino a quando una teoria analitica sviluppato nel tardo 19 ° secolo. Il libro VI applica questa teoria dei rapporti alla geometria piana, principalmente triangoli e parallelogrammi, culminando nell ‘ “applicazione delle aree”, una procedura per risolvere problemi quadratici con mezzi geometrici.,

I libri VII-IX contengono elementi di teoria dei numeri, dove il numero (arithmos) significa interi positivi maggiori di 1. A partire da 22 nuove definizioni-come unità, pari, dispari e prime—questi libri sviluppano varie proprietà degli interi positivi. Per esempio, Libro VII descrive un metodo, antanaresis (ora noto come algoritmo Euclideo), per trovare il massimo comune divisore di due o più numeri; VIII Libro esamina i numeri in continua proporzioni, ora conosciuto come sequenze geometriche (come ax, ax2, ax3, ax4…); e Libro IX dimostra che ci sono un numero infinito di numeri primi.,

Secondo Proclo, i libri X e XIII incorporano l’opera di Teaeteto pitagorico (c. 417-369 ac). Il Libro X, che comprende circa un quarto degli Elementi, sembra sproporzionato rispetto all’importanza della sua classificazione di linee e aree incommensurabili (anche se lo studio di questo libro ispirerebbe Johannes Keplero nella sua ricerca di un modello cosmologico).

Libri XI-XIII esaminare figure tridimensionali, in stereometria greca. Il libro XI riguarda le intersezioni di piani, linee e parallelepipedi (solidi con parallelogrammi paralleli come facce opposte)., Il libro XII applica il metodo di esaurimento di Eudosso per dimostrare che le aree dei cerchi sono tra loro come i quadrati dei loro diametri e che i volumi delle sfere sono tra loro come i cubi dei loro diametri. Il libro XIII culmina con la costruzione dei cinque solidi platonici regolari (piramide, cubo, ottaedro, dodecaedro, icosaedro) in una determinata sfera, come mostrato nell’animazione.,

Solidi platonici

Questi sono gli unici solidi geometrici le cui facce sono composte da poligoni regolari e identici. Posizionando il cursore su ogni figura lo mostrerà in animazione.

Encyclopædia Britannica, Inc.

L’irregolarità dei vari libri e dei vari livelli matematici può dare l’impressione che Euclide non fosse altro che un editore di trattati scritti da altri matematici., In una certa misura questo è certamente vero, anche se è probabilmente impossibile capire quali parti sono le sue e quali sono stati gli adattamenti dei suoi predecessori. I contemporanei di Euclide consideravano il suo lavoro finale e autorevole; se si doveva dire di più, doveva essere come commenti agli Elementi.