Funzioni di una singola variabilemodifica
1. Una funzione differenziabile f è (rigorosamente) concava su un intervallo se e solo se la sua funzione derivata f ‘ è (rigorosamente) monotonicamente decrescente su quell’intervallo, cioè una funzione concava ha una pendenza non crescente (decrescente).
2. I punti in cui la concavità cambia (tra concavo e convesso) sono punti di flesso.
3. Se f è due volte differenziabile, allora f è concavo se e solo se f “non è positivo (o, informalmente, se l’ “accelerazione” non è positiva)., Se la sua derivata seconda è negativa, allora è strettamente concava, ma il contrario non è vero, come mostrato da f(x) = −x4.
4. Se f è concavo e differenziabile, allora è delimitato sopra dalla sua approssimazione di Taylor del primo ordine:
f ( y ) ≤ f ( x ) + f ‘( x ) {\displaystyle f(y)\leq f(x)+f'(x)}
5. Una funzione misurabile di Lebesgue su un intervallo C è concava se e solo se è concava nel punto medio, cioè per qualsiasi x e y in C
f ( x + y 2 ) ≥ f ( x ) + f ( y ) 2 {\displaystyle f\left({\frac {x+y}{2}}\right)\geq {\frac {f(x)+f(y)}{2}}}
6., Se una funzione f è concava e f (0) ≥ 0, allora f è subadditiva su [ 0,∞) {\displaystyle [0,\infty)}. Prova:
f ( a ) + f ( b ) = f ( ( a + b ) a + b ) + f ( ( a + b ) b a + b ) ≥ a + b f ( a + b ) + b a + b f ( a + b ) = f ( a + b ) {\displaystyle f(a)+f(b)=f\left((a+b){\frac {a}{a+b}}\right)+f\left((a+b){\frac {b}{a+b}}\right)\geq {\frac {a}{a+b}}f(a+b)+{\frac {b}{a+b}}f(a+b)=f(a+b)}
Funzioni di n variablesEdit
1. Una funzione f è concava su un insieme convesso se e solo se la funzione-f è una funzione convessa sul set.
2., La somma di due funzioni concave è essa stessa concava e così è il minimo puntuale di due funzioni concave, cioè l’insieme di funzioni concave su un dato dominio forma un semifield.
3. In prossimità di un massimo locale all’interno del dominio di una funzione, la funzione deve essere concava; in senso inverso parziale, se la derivata di una funzione strettamente concava è zero ad un certo punto, allora quel punto è un massimo locale.
4. Qualsiasi massimo locale di una funzione concava è anche un massimo globale. Una funzione strettamente concava avrà al massimo un massimo globale.
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