Vedi anche: Incenter

IncenterEdit

La distanza dal vertice A {\displaystyle A} all’incenter I {\displaystyle I} è:

d ( A , I ) = c sin sin ( B 2 ) cos cos ( C 2 ) = b sin sin ( C 2 ) cos cos ( B 2 ) . {\displaystyle d(A,I)=c{\frac {\sin \left({\frac {B}{2}}\right)}{\cos \left({\frac {C}{2}}\right)}}=b{\frac {\sin \left({\frac {C}{2}}\right)}{\cos \left({\frac {B}{2}}\right)}}.,}

Coordinate trilinearimodifica

Le coordinate trilineari per un punto nel triangolo sono il rapporto tra tutte le distanze dai lati del triangolo. Poiché l’incenter è la stessa distanza da tutti i lati del triangolo, le coordinate trilineari per l’incenter sono

1 : 1 : 1. {\displaystyle \ 1: 1: 1.}

Coordinate baricentrichemodifica

Le coordinate baricentriche per un punto in un triangolo danno pesi tali che il punto sia la media ponderata delle posizioni dei vertici del triangolo.,Le coordinate baricentriche per l’incentro sono date da

a : b : c {\displaystyle \ a:b:c} sin sin ( A ) : sin sin ( B ) : sin sin ( C ) {\displaystyle \sin(A):\sin(B):\sin(C)}

dove A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} e C {\displaystyle C} sono gli angoli ai tre vertici.

Coordinate cartesianemodifica

( a x a + b x b + c x c a + b + c , a y a + b y b + c y c a + b + c ) = a ( x a , y a ) + b ( x b , y b ) + c ( x c , y c ) a + b + c ., {\displaystyle \left({\frac {ax_{a}+bx_{b}+cx_{c}}{a+b+c}},{\frac {ay_{a}+by_{b}+cy_{c}}{a+b+c}}\right)={\frac {a\left(x_{a},y_{a}\right)+b\left(x_{b},y_{b}\right)+c\left(x_{c},y_{c}\right)}{a+b+c}}. Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione. {\displaystyle s=(a + b + c) / 2.}

Vedi la formula di Heron.,

le Distanze per il verticesEdit

Denota il incenter di △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} come I {\displaystyle I} , distanze tra incenter ai vertici combinato con le lunghezze dei lati del triangolo obbedire equazione

ho Un ⋅ I A C A ⋅ B + B ⋅ I B A B ⋅ B C + I C ⋅ I C a B C ⋅ C = 1. Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione.,}

Inoltre,

I A B I B C I C = 4 R r 2 , {\displaystyle IA\cdot IB\cdot IC=4Rr^{2},}

dove R {\displaystyle R} e r {\displaystyle r} sono rispettivamente il circumradius e l’inradius del triangolo.

Altre proprietàmodifica

Alla raccolta di centri triangolari può essere data la struttura di un gruppo sotto moltiplicazione coordinata delle coordinate trilineari; in questo gruppo, l’incentro forma l’elemento identità.,

Incircle e le sue proprietà radiusedit

Distanze tra vertice e punti di contatto più vicinimodifica

Le distanze da un vertice ai due punti di contatto più vicini sono uguali; ad esempio:

d ( A , T B ) = d ( A , T C ) = 1 2 ( b + c − a ) . {\displaystyle d \ left(A,T_{B}\right)=d\left(A,T_{C}\right)={\frac {1}{2}} (b+c-a).}

Altre proprietàmodifica

r=xyz x + y + z {\displaystyle r = {\sqrt {\frac {xyz}{x+y+z}}}}

e l’area del triangolo è

Δ = xyz ( x + y + z ) . Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti.} r = 1 1 h a + 1 h b + 1 h c ., {\displaystyle r={\frac {1}{{\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}}}.} r R = a b c 2 ( a + b + c ) . {\displaystyle rR={\frac {abc}{2(a+b+c)}}.}

Some relations among the sides, incircle radius, and circumcircle radius are:

a b + b c + c a = s 2 + ( 4 R + r ) r , a 2 + b 2 + c 2 = 2 s 2 − 2 ( 4 R + r ) r . {\displaystyle {\begin{aligned}ab+bc+ca&=s^{2}+(4R+r)r,\\a^{2}+b^{2}+c^{2}&=2s^{2}-2(4R+r)r.,\ end {aligned}}}

Qualsiasi linea che attraversa un triangolo che divide a metà l’area del triangolo e il suo perimetro passa attraverso l’incentro del triangolo (il centro del suo incircle). Ci sono uno, due o tre di questi per ogni triangolo dato.

che indica il centro del incircle di △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} come I {\displaystyle I} , abbiamo

ho Un ⋅ I A C A ⋅ B + B ⋅ I B A B ⋅ B C + I C ⋅ I C a B C ⋅ C = 1 {\displaystyle {\frac {IA\cdot IA}{CA\cdot AB}}+{\frac {IB\cdot IB}{AB\cdot BC}}+{\frac {IC\cdot IC}{BC\cdot CA}}=1}

e:121,#84

I A ⋅ B ⋅ C = 4 R r 2 ., {\displaystyle IA \ cdot IB \ cdot IC = 4Rr^{2}.}

Il raggio incircle non è maggiore di un nono della somma delle altitudini.:289

Il quadrato della distanza dal incenter I {\displaystyle I} per il circocentro O {\displaystyle O} è data da:232

O I 2 = R ( R − 2 r ) {\displaystyle OI^{2}=R(R-2r)} ,

e la distanza dal incenter al centro N {\displaystyle N} di nove punto del cerchio è:232

I N = 1 2 ( R − 2 r ) < 1 2 R . Per maggiori informazioni, consulta la nostra informativa sulla privacy.,}

L’incentro si trova nel triangolo mediale (i cui vertici sono i punti medi dei lati).:233, Lemma 1

Relazione all’area di triangleEdit

Δ = 1 2 ( a + b + c ) r = s r {\displaystyle \Delta ={\frac {1}{2}}(a+b+c)r=sr,} e r = Δ s , {\displaystyle r={\frac {\Delta }{s}},} Δ = r 2 ( culla ⁡ ( 2 ) + culla ⁡ ( B 2 ) + culla ⁡ ( C 2 ) ) . {\displaystyle \Delta =r^{2}\left(\cot \left({\frac {A}{2}}\right)+\cot \left({\frac {B}{2}}\right)+\cot \left({\frac {C}{2}}\right)\right).,}

Triangolo di Gergonne e pointEdit

K T = K 2 r 2 s a b c {\displaystyle K_{T}=K{\frac {2r^{2}s}{abc}}}

Il punto di Gergonne di un triangolo ha un certo numero di proprietà, incluso il fatto che è il punto simmetrico del triangolo di Gergonne.,

Trilineare coordinate di tutti i vertici di intouch triangolo sono dato da

Trilineare coordinate per il punto di Gergonne sono dato da

sec 2 ⁡ ( 2 ) : sec 2 ⁡ ( B 2 ) : sec 2 ⁡ ( C 2 ) , {\displaystyle \sec ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):\sec ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):\sec ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right),}

o, equivalentemente, con la Legge di Sines,

b c b + c − a : c a c + a − b : a b a + b − c . Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione.}