Perché la moltiplicazione giapponese funziona

Moltiplicazione giapponese? Moltiplicazione cinese? Moltiplicazione di linee?

Qualunque cosa si chiami, è solo un trucco se semplicemente memorizzi senza significato

Ti sei mai chiesto perché la moltiplicazione giapponese funziona?

Ho sentito alcuni chiamano moltiplicazione cinese, moltiplicazione dall’India, moltiplicazione vedica, moltiplicazione bastone, moltiplicazione linea e molti altri.,

Mentre molti potrebbero discutere sull’origine di questo trucco di moltiplicazione, ho intenzione di sostenere che molto bene potrebbe aver avuto origine proprio qui in Ontario, in Canada, considerando come il nostro curriculum di matematica Ontario grade 1 a 8 suggerisce che potremmo andare sull’insegnamento della moltiplicazione.

Ma solo per la cronaca, non ho davvero idea da dove provenga e non mi interessa. Tuttavia, mi interessa DAVVERO PERCHÉ questo metodo funziona. Se pensi che sia semplicemente un trucco, è perché probabilmente stai considerando questo metodo da una sola prospettiva procedurale.,

Controlla una spiegazione completa nel video o vai a un riassunto scritto / visivo sotto.

Per capire come funziona la moltiplicazione giapponese, dobbiamo ricominciare dal buon vecchio metodo affidabile di organizzare gruppi uguali in righe e colonne. Hai ragione, sto parlando di un array:

Quando diciamo “3 per 2”, è come dire “3 gruppi di 2” e possiamo mostrare questi tre gruppi come 3 righe e 2 colonne o 3 colonne e due righe.,

Man mano che i numeri diventano più grandi, come 6 gruppi di 7, spesso può essere utile per gli studenti mostrare il numero di gruppi e il numero di elementi in ciascun gruppo (noti anche come fattori).

Si noti che la disposizione potrebbe sembrare familiare in quanto questo è spesso il modo in cui organizziamo tradizionalmente le nostre tabelle di moltiplicazione o tabelle di moltiplicazione.

Possiamo anche usare gli array per praticare il conteggio dei salti, visualizzare “doppi”, “tripli” e tutti i tipi di altre abilità utili che molti sostenitori del “ritorno alle origini” vorrebbero vedere migliorate nei nostri studenti.,

Mentre gli array sono super cool, non siamo qui per discutere solo i vantaggi dell’utilizzo di array quando si impara a moltiplicare. Possono anche aiutarci a capire perché la moltiplicazione giapponese funziona davvero.

Ci avvicineremo al motivo quando inizieremo a guardare fattori più grandi come 13 gruppi di 14. Ma l’uomo, sarebbe davvero schifo se dovessimo costruire una matrice di 13 righe e 14 colonne con singole tessere!

Fortunatamente, qualcuno là fuori ha pensato a 10 blocchi di base per rendere più facili gli array di costruzione con grandi fattori!,

Se vuoi davvero andare in profondità con i blocchi base ten, considera di leggere questo post.

Per costruire un array di 13 gruppi di 14, possiamo usare base dieci blocchi per rappresentare 13 come “10-rod” più 3 “unit tiles”. Questo riduce il numero di pezzi manipolativi da 13 pezzi per rappresentare il numero 13 a soli 4 pezzi e da 14 pezzi per rappresentare il numero 14 a soli 5 pezzi.

Ora, possiamo moltiplicare in parti, concentrandosi prima sulle nostre 10 aste.,

Proprio come faresti con una tabella di moltiplicazione, possiamo moltiplicare 10 per 10 e vedere che lo spazio che occupa il prodotto è 100. Con base dieci blocchi, possiamo usare un “100 piatto” invece di 100 unità individuali, o 10 dieci aste.

Quindi, possiamo guardare lo spazio vuoto in alto a destra del nostro array e notare che ora dobbiamo moltiplicare 10 (dal fattore di 13) per le restanti 4 unità (dal fattore di 14) per ottenere 4 dieci aste, o 40.

Ripetendo la stessa logica per le restanti 3 unità formano il fattore di 13, quindi moltiplichiamo 3 per la ten-rod per ottenere 3 ten-rods o 30.,

Infine, moltiplichiamo 3 unità per 4 unità per ottenere 12 per un prodotto finale di 182.

Quindi, facciamo un altro, quindi facciamo la connessione alla moltiplicazione giapponese.

Questa volta, guarderemo 12 x 15. Si noti che si applica la stessa logica:

Cose divertenti, giusto?

Ora, facciamo la connessione al metodo di moltiplicazione giapponese.

Ho intenzione di nascondere i valori della base 10 blocchi al fine di ripulire lo schermo e sbarazzarsi del disordine., Ora, ho intenzione di evidenziare gli “spazi vuoti” tra ogni pezzo di base dieci blocchi con linee (vedi dove sta andando?):

Andando avanti, separerò un po ‘ di più i nostri fattori dall’array in modo da non confonderci. Come vedrai di seguito, la moltiplicazione giapponese sta semplicemente saltando il passaggio di disegnare i blocchi 10 di base concentrandoti sull’intersezione dei blocchi 10 di base (o dei bastoncini / linee)., Come potete vedere nella gif animata qui sotto, ogni blocco di base dieci è sostituito dall’intersezione delle linee situate tra ogni blocco di base dieci:

Ogni passo può essere suddiviso come segue:

• Nell’angolo in alto a sinistra, abbiamo un dieci-asta moltiplicato per un dieci-asta per dare 100. Si noti che è il punto di intersezione delle due dieci aste che rappresenta il piatto 100.
• Nell’angolo in alto a destra, abbiamo 5 unità moltiplicate con una dieci-asta per dare 5 dieci-aste o 5 punti di intersezione per rappresentare 50.,
• Nell’angolo in basso a sinistra, abbiamo una dieci-asta moltiplicata per 2 unità per dare 2 dieci-aste o 2 punti di intersezione per rappresentare 20.
• Infine, nell’angolo in basso a destra, abbiamo 5 unità moltiplicate per 2 unità per dare 10 unità o 10 punti di intersezione.

Guardando sia l’array con base dieci blocchi o moltiplicazione giapponese, entrambi i metodi sono automaticamente chunking i nostri fattori di 12 e 15 per fare uso della proprietà distributiva; 12 = 10 + 2 e 15 = 10 + 5.,

Ora che hai avuto la possibilità di sperimentare utilizzando base dieci blocchi attraverso questo post o più in profondità qui, probabilmente si può visualizzare la base dieci blocchi seduti tra le linee che vengono utilizzati nel metodo di moltiplicazione giapponese.

Bello, eh?

La moltiplicazione giapponese è solo un trucco se non sai perché funziona!

Ho visto un sacco di post fluttuare sui social media suggerendo che la moltiplicazione giapponese è un trucco di moltiplicazione o una sorta di “magia” o “trucco voodo”., Questa affermazione è vera solo se non cerchi mai di capire perché funziona. Mentre ho insegnato molti trucchi matematici come la moltiplicazione incrociata per risolvere proporzioni e somma e prodotto per il factoring in passato, in questi ultimi anni ho completamente abbandonato questo approccio dal mio insegnamento. Devo stare attento qui perché non sto suggerendo che la moltiplicazione incrociata o la somma e il prodotto siano cattivi metodi da usare in matematica; è più su quando e come si verificano in classe di matematica.,

Sviluppare una profonda comprensione concettuale porterà alla fluidità procedurale

È mia convinzione che non esiste un “trucco” in classe di matematica quando viene costruita una profonda comprensione concettuale prima di introdurre la fluidità procedurale. Nel caso di risolvere le proporzioni, gli studenti dovrebbero essere in grado di risolvere una proporzione usando operazioni opposte e la loro comprensione che le quantità relazionali equivalenti sono multipli l’una dell’altra., Capire ” quante volte più grande” un” pezzo “di una frazione è di un altro è molto importante prima di dare semplicemente agli studenti uno strumento come la moltiplicazione incrociata per semplicemente” arrivare a una risposta” il più velocemente possibile. Mi piacerebbe pensare che se gli studenti hanno costruito una profonda comprensione concettuale prima di passare a procedure e algoritmi, è probabile che capiranno meglio come utilizzare la procedura in modo efficiente e saranno anche in grado di uscire da un inceppamento se sorgono problemi.,

Nel caso della moltiplicazione giapponese, direi che è solo un trucco di moltiplicazione se stai insegnando questo metodo senza che gli studenti abbiano avuto l’opportunità di lavorare con le basi concettuali che lo fanno funzionare perfettamente., In particolare, gli studenti dovrebbero avere l’opportunità di dedicare una notevole quantità di tempo a lavorare con materiali concreti come piastrelle quadrate e blocchi base ten per costruire array al fine di costruire una forte fluidità di moltiplicazione prima di spingere gli studenti a una rappresentazione iconica o visiva come disegnare i blocchi base ten o utilizzare una rappresentazione più astratta

Moltiplicazione giapponese: perché le linee diagonali?,

Potresti chiederti:

Perché vedo sempre le linee nel metodo di moltiplicazione giapponese su una diagonale?

Beh, questo è probabilmente perché la maggioranza che sta usando e condividendo il metodo di moltiplicazione giapponese potrebbe non avere idea del perché funzioni effettivamente. Se non sono troppo sicuro del perché funzioni e sto cercando di insegnare a qualcun altro come farlo in modo procedurale, potrei aver bisogno di assistenza per organizzare la soluzione sia per me che per lo studente.,

Mostrando le linee in diagonale, la matrice di base dieci blocchi ora organizza i punti di intersezione in ordine di valore posto. Dai un’occhiata qui sotto:

Come puoi vedere sopra, un’opportunità per tornare al valore posto e l’importanza di capire che in base dieci, non possiamo avere un numero maggiore di 9 in nessuna colonna del valore posto. Si noterà che il 10 uno deve essere scambiato per un dieci asta.,

Quindi, mentre molti potrebbero considerare questo un “trucco” piuttosto interessante, è molto più potente se gli studenti possono articolare da dove provengono procedure come queste e perché funzionano.

Meglio ancora, dopo che gli studenti hanno una conoscenza approfondita degli array con dieci blocchi di base, preferirei sfidarli per vedere se potevano trovare un modo più semplice per rappresentare visivamente la loro moltiplicazione a due cifre su carta senza dover disegnare un mucchio di rettangoli e quadrati., Alcuni potrebbero usare bastoni per base dieci blocchi e forse, solo forse, qualcuno nella tua classe potrebbe venire con qualcosa di simile a questo metodo bastone. Quanto sarebbe figo?

Base Ten Block Array & La moltiplicazione giapponese È l’algoritmo standard

Oh, e prima di andare, dovresti sapere che usare base ten blocks o il metodo di moltiplicazione giapponese è un ottimo modo per spiegare perché i prodotti parziali e l’algoritmo standard per la moltiplicazione funzionano.,

Se diamo un’occhiata all’array e all’algoritmo standard, fianco a fianco possiamo vedere chiaramente ogni passo dell’algoritmo. Dai un’occhiata:

Se sei interessato a saperne di più su come si connettono gli array, i modelli di area e l’algoritmo standard, vedi questo post.,

L’importanza dello sbiadimento della concretezza in matematica

Lo sbiadimento della concretezza è una teoria che suggerisce che i concetti matematici sono meglio appresi in tre fasi; la fase enattiva, in cui gli studenti usano manipolativi concreti che rappresentano il concetto matematico su cui stanno lavorando.,

Nel corso del tempo, dopo che gli studenti hanno avuto abbastanza esperienza di lavoro fisico con i manipolativi concreti, si spostano verso lo stadio iconico, dove iniziano a (spesso naturalmente) disegnare una rappresentazione visiva del manipolatore concreto invece di dover tenere e manipolare fisicamente l’oggetto nelle loro mani.

Man mano che gli studenti diventano sempre più a proprio agio con le rappresentazioni iconiche o visive, ha senso per loro iniziare a usare simboli che rappresentano il significato dietro le precedenti rappresentazioni visive e concrete., Questa fase è pensata per essere la più astratta delle tre fasi perché ora numeri e simboli sono usati come un modo più efficiente per rappresentare il lavoro e le esperienze che sono state sviluppate nelle fasi precedenti.

Il metodo di moltiplicazione giapponese e la dissolvenza della concretezza

Quindi come appare la moltiplicazione che abbiamo appena esplorato oggi rispetto ai tre stadi della dissolvenza della concretezza?,

Concretezza Fading: Una Cifra da Una Cifra Multiplcation

Quando si tratta di sola cifra per cifra singola moltiplicazione utilizzando singole unità piastrelle come abbiamo fatto all’inizio di questo post, le fasi potrebbe assomigliare a questo:

1. Enactive/Cemento: Fisicamente organizzazione di piastrelle quadrate in un array.
2. Iconico / visivo: disegnando quadrati o punti in un array su carta o usando il ragionamento spaziale per visualizzare l’array nel tuo “occhio della mente”.,
3. Simbolico / astratto: usando numeri e simboli per rappresentare il tuo pensiero, con la speranza che tu possa visualizzare cosa significano quei simboli nella tua mente.,

Concretezza Fading: Una o Due Cifre da un a Due Cifre Multiplcation

Come ci si sposta a due cifre di una cifra o due numeri di due cifre, la moltiplicazione, le fasi di concretezza dissolvenza potrebbe assomigliare a questo:

1. Enactive/Cemento: Utilizzo di fisica di base di dieci blocchi per creare matrici e nel tempo, magari spostando verso il libero virtuale strumenti di manipolazione come Numero di Pezzi da math learning centre, Ontario Ministero dell’Istruzione Mathies Piastrelle a Colori o le app interattiva strumenti di manipolazione offerti attraverso il libero Knowledgehook Gameshow strumento.,
2. Iconico / visivo: disegnare l’array utilizzando una configurazione di base 10 su carta e / o visualizzando nella loro mente.
3. Simbolico / astratto: Collegare la notazione concreta e visiva a quella simbolica come questo algoritmo di moltiplicazione “concettuale”(o “prodotti parziali”).

Un’altra possibilità potrebbe includere diverse rappresentazioni visive e simboliche come questa:

1. Enactive / Concrete: usare dieci blocchi di base fisica per creare array.,
2. Iconico / visivo: Disegnare un modello di area su carta per mostrare prodotti parziali e / o visualizzare nella loro mente.
3. Simbolico / astratto: Collegare la notazione concreta e visiva a quella simbolica come l’algoritmo standard per la moltiplicazione.

Infine, un’altra possibilità potrebbe essere:

1. Enactive / Concrete: usare dieci blocchi di base fisica per creare array.
2. Iconico / visivo: disegnare una modifica di un array di blocchi di base dieci utilizzando il metodo di moltiplicazione giapponese su carta e / o visualizzando nella loro mente.,
3. Simbolico / astratto: Collegare la notazione concreta e visiva a quella simbolica usando strategie matematiche mentali come la decomposizione e la ricomposizione dei numeri. In questo caso, usando mentalmente la proprietà distributiva per moltiplicare 10 per 15 e poi 2 per 15.

Mentre il mio intento iniziale con questo video e post era una rapida animazione per mostrare come il metodo di moltiplicazione giapponese non sia davvero un trucco, ma piuttosto una semplificazione di ciò che ci viene chiesto di fare nel curriculum di matematica dell’Ontario, è esploso in un mostro., Spero che il tempo e lo sforzo speso almeno ti abbia pensato a come potremmo lavorare per approfondire la nostra comprensione studentesca della moltiplicazione in congiunzione con la concretezza che svanisce.

Credo fermamente che, come siamo esposti a più modi per rappresentare i concetti in matematica, la nostra comprensione di quei concetti continuerà ad approfondire e produrre sempre più connessioni nel tempo. Sono la prova vivente che questo è vero, perché sono scioccato di routine per le nuove connessioni che sembrano presentarsi a me con sempre meno sforzo ogni giorno che passa., Manteniamo tutti una posizione aperta all’apprendimento e continuiamo a costruire sempre più connessioni in matematica che possiamo sfruttare come strumenti nelle nostre aule per soddisfare le esigenze di apprendimento degli studenti.

Conosci altri modi interessanti per moltiplicare? Si prega di condividere un po ‘ di più (link di benvenuto, anche) nei commenti per gli altri di godere!

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Su Kyle Pearce

io sono Kyle Pearce e sono un ex insegnante di matematica del liceo. Ora sono il consulente di matematica K-12 con il consiglio scolastico del distretto della contea di Greater Essex, dove scopro modi creativi per stimolare la curiosità e alimentare il senso in matematica. Per saperne di più.,

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