Precalcolo

Angoli di riferimento

L’angolo di riferimento di un angolo è la misura dell’angolo t più piccolo, positivo, acuto formato dal lato terminale dell’angolo t e dall’asse orizzontale. Pertanto gli angoli di riferimento positivi hanno lati terminali che si trovano nel primo quadrante e possono essere utilizzati come modelli per angoli in altri quadranti. Vedere Figura 1 per esempi di angoli di riferimento per angoli in diversi quadranti.,

Utilizzando gli angoli di riferimento

gli angoli di riferimento consentono di valutare funzioni trigonometriche per angoli esterni al primo quadrante. Possono anche essere usati per trovare le coordinate\left(x,y \ right) per quegli angoli., Useremo l’angolo di riferimento dell’angolo di rotazione combinato con il quadrante in cui si trova il lato terminale dell’angolo. Possiamo trovare il valore esatto di trigonometria di qualsiasi angolo in qualsiasi quadrante se applichiamo la funzione trigonometria all’angolo di riferimento. Il segno dipende dal quadrante dell’angolo originale.

I valori della funzione trigonometrica per l’angolo originale saranno gli stessi di quelli per l’angolo di riferimento, ad eccezione del segno positivo o negativo, che è determinato dai valori x e y nel quadrante originale. La figura 3 mostra quali funzioni sono positive in quale quadrante.,

Per aiutarci a ricordare quale delle sei funzioni trigonometriche sono positive in ogni quadrante, possiamo usare la frase mnemonica “Tutti gli studenti prendono il calcolo” Ciascuna delle quattro parole della frase corrisponde a uno dei quattro quadranti, iniziando dal quadrante I e ruotando in senso antiorario. Nel quadrante I, che è “A”, tutte le sei funzioni trigonometriche sono positive. Nel quadrante II, “Studenti”, solo il seno e la sua funzione reciproca, cosecante, sono positivi. Nel quadrante III, “Prendi”, solo la tangente e la sua funzione reciproca, cotangente, sono positive., Infine, nel quadrante IV,” Calcolo ” solo coseno e la sua funzione reciproca, secante, sono positivi.

Chiave Equazioni

Coseno	\cos t=x
Seno	\sin t=y
Pitagorica Identità	{\cos }^{2}t+{\sin }^{2}t=1

Concetti Chiave

• Il seno e il coseno di un angolo hanno lo stesso valore assoluto come il seno e il coseno di suo angolo di riferimento.,
• I segni del seno e del coseno sono determinati dai valori x e y nel quadrante dell’angolo originale.
• L’angolo di riferimento di un angolo è l’angolo di dimensione, t, formato dal lato terminale dell’angolo t e dall’asse orizzontale.
• Gli angoli di riferimento possono essere utilizzati per trovare il seno e il coseno dell’angolo originale.
• Gli angoli di riferimento possono anche essere usati per trovare le coordinate di un punto su un cerchio.

Sezione 4.4 Esercizi per i compiti a casa

1. Discutere la differenza tra un angolo coterminale e un angolo di riferimento.

2., Spiega come il coseno di un angolo nel secondo quadrante differisce dal coseno del suo angolo di riferimento nel cerchio unitario.

3. Spiega come il seno di un angolo nel secondo quadrante differisce dal seno del suo angolo di riferimento nel cerchio unitario.

4. Qual è lo scopo di un angolo di riferimento?

Per i seguenti esercizi, indicare l’angolo di riferimento per l’angolo dato.

5. 240 ^ \ circ

6. -170 ^ \ circ

7. 460 ^ \ circ

8. -675 ^ \ circ

9. 135 ^ \ circ

10. \ frac{5 \ pi }{4}

11. \ frac{2 \ pi }{3}

12. \ frac{17 \ pi }{6}

13., – \frac{17 \ pi }{3}

14. – \frac{7 \ pi }{4}

15. – \frac {\pi }{8}

Per i seguenti esercizi, trovare l’angolo di riferimento, il quadrante del lato terminale e il seno, coseno di ciascun angolo.

16. 225 ^ \ circ

17. 300 ^ \ circ

18. 315 ^ \ circ

19. 135 ^ \ circ

20. 570 ^ \ circ

21. 480 ^ \ circ

22. -120 ^ \ circ

23. -210 ^ \ circ

24. \ frac{5 \ pi }{4}

25. \ frac{7 \ pi }{6}

26. \ frac{5 \ pi }{3}

27. \ frac{3 \ pi }{4}

28. \ frac{4 \ pi }{3}

29. \ frac{2 \ pi }{3}

30. \ frac{-19 \ pi }{6}

31., \ frac{-9 \ pi } {4}

Per i seguenti esercizi, trova l’angolo di riferimento, il quadrante del lato terminale e il valore esatto della funzione trigonometrica.

32. \ tan \ frac{5 \ pi }{6}

33. \ sec \ frac{7 \ pi }{6}

34. \ csc \ frac{11 \ pi }{6}

35. \ cot \ frac{13 \ pi }{6}

36. \ tan \ frac{15 \ pi }{4}

37. \ sec \ frac{3 \ pi }{4}

38. \ csc \ frac{5 \ pi }{4}

39. \ cot \ frac{11 \ pi }{4}

40. \tan \ left (- \frac{4 \ pi } {3} \ right)

41. \sec \ left (- \frac{2 \ pi } {3} \ right)

42. \ csc \ left (- \frac{10 \ pi }{3} \ right)

43., \ cot \ left (- \frac{7 \ pi } {3} \ right)

44. \ tan 225^ \ circ

45. \ sec 300^ \ circ

46. \ csc 510^ \ circ

47. cot 600 ^ circ

48. \ tan \ left (-30^ \ circ \ right)

49. \ sec \ left (-210^\circ\right)

50. \ csc \ sinistra(-510^ \ circ \ destra)

51. \cot \left (-405^ \ circ \ right)

Nei seguenti esercizi, usa un triangolo rettangolo per trovare il valore esatto.

52. Se \ text {sin}t= \ frac{3} {4}, e t è nel quadrante II, trova \cos t, \ sec t, \ csc t,\tan t, \ cot t.

53. Se \ text {cos}t= – \ frac{1} {3}, e t è nel quadrante III, trova \sin t, \ sec t,\csc t,\tan t, \ cot t.,

54. Se \tan t= \ frac{12} {5} e 0 \ le t <\frac{\pi }{2}, trova \sin t,\cos t,\sec t,\csc t e \cot t.

55. Se \ sin t= \ frac {\sqrt{3}} {2} e \cos t=\frac{1} {2}, trova \sec t,\csc t,\tan t e \cot t.

Per i seguenti esercizi, trova il valore esatto usando gli angoli di riferimento.

56. \sin \ left (\frac{11 \ pi} {3}\right)\cos\left (\frac{-5\pi}{6} \ right)

57. \sin \ left (\frac {3 \ pi} {4}\right)\cos\left (\frac{5\pi}{3} \ right)

58. \sin \ left (\frac{-4 \ pi} {3} \ right)\cos\left (\frac {\pi}{2} \ right)

59., \ sin \ left (\frac{-9 \ pi} {4} \ right)\cos\left (\frac {- \pi}{6} \ right)

60. \sin \ left (\frac {\pi}{6}\right)\cos\left (\frac {- \pi}{3} \ right)

61. \sin \ left (\frac{7 \ pi} {4}\right) \ cos \ left (\frac{-2\pi}{3} \ right)

62. \cos \ left (\frac {5 \ pi}{6}\right)\cos\left (\frac{2\pi}{3} \ right)

63. \cos \ left (\frac {- \pi} {3}\right)\cos\left (\frac {\pi}{4} \ right)

64. \ sin \ left (\frac{-5 \ pi} {4}\right)\sin\left (\frac{11\pi}{6} \ right)

65. \ sin \ left (\pi \ right) \ sin \ left (\frac {\pi}{6} \ right)