In una dimensione, si può dimostrare che lo stato fondamentale dell’equazione di Schrödinger non ha nodi.

Derivazioneedit

Considera l’energia media di uno stato con un nodo a x = 0; cioè, ψ(0) = 0. L’energia media in questo stato sarebbe

⟨ ψ | H | ψ ⟩ = ∫ d x ( − ℏ 2 2 m ψ ∗ d 2 ψ d x 2 + V ( x ) | ψ ( x ) | 2 ) , {\displaystyle \langle \psi |H|\psi \rangle =\int dx\,\left(-{\frac {\editormaniglie ^{2}}{2m}}\psi ^{*}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)|\psi (x)|^{2}\right),}

dove V(x) è il potenziale.,

Supponendo che ψ ( x ) ≈ − c x {\displaystyle \psi (x)\ca -cx} intorno a x = 0 {\displaystyle x=0} , si può scrivere:

ψ ‘ ( x ) = N { | ψ ( x ) | , | x | > ϵ , c ż , | x | ≤ ϵ , {\displaystyle \psi ‘(x)=N{\begin{casi}|\psi (x)|,&|x|>\epsilon ,\\c\epsilon&|x|\leq \epsilon ,\end{casi}}}

dove N = 1 1 + 4 3 | c | 2 ż 3 {\displaystyle N={\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {4}{3}}|c|^{2}\epsilon ^{3}}}}} è la norma.,

d’altra parte, nell’intervallo x ∈ {\displaystyle x\in } abbiamo

V avg ż ‘= ∫ − ż ż d x V ( x ) | ψ ‘ | 2 = ż 2 | c| 2 1 + 4 3 | c | 2 ż 3 ∫ − ż ż d x V ( x ) ≃ 2 ż 3 | c | 2 V ( 0 ) + ⋯ , {\displaystyle {V_{\text{avg}}^{\epsilon }}’=\int _{-\epsilon }^{\epsilon }dx\,V(x)|\psi ‘|^{2}={\frac {\epsilon ^{2}|c|^{2}}{1+{\frac {4}{3}}|c|^{2}\epsilon ^{3}}}\int _{-\epsilon }^{\epsilon }dx\,V(x)\simeq 2\epsilon ^{3}|c|^{2}V(0)+\cdots ,}

che si tiene a fine ż 3 {\displaystyle \epsilon ^{3}} .,

Tuttavia, il contributo all’energia potenziale di questa regione per lo stato ψ con un nodo

V avg ż = ∫ − ż ż d x V ( x ) | ψ | 2 = | c | 2 ∫ − ż ż d x x 2 V ( x ) ≃ 2 3 ż 3 | c | 2 V ( 0 ) + ⋯ , {\displaystyle V_{\text{avg}}^{\epsilon }=\int _{-\epsilon }^{\epsilon }dx\,V(x)|\psi |^{2}=|c|^{2}\int _{-\epsilon }^{\epsilon }dx\,x^{2}V(x)\simeq {\frac {2}{3}}\epsilon ^{3}|c|^{2}V(0)+\cdots ,}

Si può quindi rimuovere tutti i nodi e ridurre l’energia da O ( ż ) {\displaystyle O(\epsilon )} , il che implica che ψ’ non può essere lo stato del terreno., Quindi la funzione d’onda dello stato fondamentale non può avere un nodo. Questo completa la prova. (L’energia media può quindi essere ulteriormente abbassata eliminando le ondulazioni, al minimo assoluto variazionale.)

ImplicationEdit

Poiché lo stato fondamentale non ha nodi, è spazialmente non degenere, cioè non ci sono due stati quantici stazionari con l’autovalore energetico dello stato fondamentale (chiamiamolo ad esempio {\displaystyle E_{g}}) e lo stesso stato di spin e quindi differirebbe solo nelle loro funzioni d’onda spazio-posizione., | ψ 1 ( x 0 , 0 ) | 2 + | ψ 2 ( x 0 , 0 ) | 2 > 0 {\displaystyle a={\sqrt {|\psi _{1}(x_{0},0)|^{2}+|\psi _{2}(x_{0},0)|^{2}}}>0\,} (secondo la premessa senza nodi)

si noti che lo stato del terreno potrebbe essere degenerata a causa di diversi stati di spin come | ⟩ {\displaystyle \left|\uparrow \right\rangle } e | ↓ ⟩ {\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle } pur avendo la stessa posizione-spazio la funzione d’onda: Qualsiasi sovrapposizione di questi stati sarebbe creare un misto stato di spin, ma lasciare spaziali parte (come un fattore comune per entrambi) inalterato.,