I numeri immaginari mi hanno sempre confuso. Come la comprensione di e, la maggior parte delle spiegazioni è caduta in una delle due categorie:

  • È un’astrazione matematica e le equazioni funzionano. Fattene una ragione.
  • È usato in fisica avanzata, fidati di noi. Aspetta solo il college.

Gee, quello che un ottimo modo per incoraggiare la matematica nei bambini! Oggi affronteremo questo argomento con i nostri strumenti preferiti:

  • Concentrandosi sulle relazioni, non sulle formule meccaniche.,
  • Vedere i numeri complessi come un aggiornamento al nostro sistema numerico, proprio come lo erano zero, decimali e negativi.
  • Usando diagrammi visivi, non solo testo, per capire l’idea.

E la nostra arma segreta: imparare per analogia. Ci avvicineremo ai numeri immaginari osservando il suo antenato, i negativi. Ecco la tua guida:

Non ha ancora senso, ma tieni duro. Alla fine daremo la caccia a me e lo metteremo in una presa di testa, invece del contrario.,

Video Walkthrough:

Capire davvero i numeri negativi

I numeri negativi non sono facili. Immagina di essere un matematico europeo nel 1700. Hai 3 e 4, e sai che puoi scrivere 4 – 3 = 1. Semplice.

Ma per quanto riguarda 3-4? Cosa significa esattamente? Come puoi prendere 4 mucche da 3? Come hai potuto avere meno di niente?

I negativi erano considerati assurdi, qualcosa che “oscurava l’intera dottrina delle equazioni” (Francis Maseres, 1759). Eppure oggi, sarebbe assurdo pensare che i negativi non siano logici o utili., Prova a chiedere al tuo insegnante se i negativi corrompono le fondamenta stesse della matematica.

Cosa è successo? Abbiamo inventato un numero teorico che aveva proprietà utili. I negativi non sono qualcosa che possiamo toccare o tenere, ma descrivono bene certe relazioni (come il debito). Era una finzione utile.

Invece di dire “Ti devo 30” e leggere le parole per vedere se sono alto o in basso, posso scrivere “-30” e sapere che significa che sono nel buco. Se guadagno soldi e pago i miei debiti (-30 + 100 = 70), posso registrare facilmente la transazione. Ho + 70 dopo, il che significa che sono in chiaro.,

I segni positivi e negativi tengono automaticamente traccia della direzione — non è necessaria una frase per descrivere l’impatto di ogni transazione. La matematica è diventata più facile, più elegante. Non importava se i negativi fossero “tangibili” – avevano proprietà utili e li abbiamo usati fino a quando non sono diventati oggetti di uso quotidiano. Oggi si potrebbe chiamare qualcuno nomi osceni se non hanno” ottenere ” negativi.

Ma non compiaciamoci della lotta: i numeri negativi sono stati un enorme cambiamento mentale. Persino Eulero, il genio che scoprì e e molto altro, non capiva i negativi come noi oggi., Sono stati considerati risultati” privi di significato ” (in seguito ha compensato questo con stile).

È una testimonianza del nostro potenziale mentale che ci si aspetta che i bambini di oggi capiscano idee che un tempo confondevano gli antichi matematici.

Inserisci numeri immaginari

I numeri immaginari hanno una storia simile. Possiamo risolvere equazioni come questa tutto il giorno:

Le risposte sono 3 e -3. Ma supponiamo che qualche wiseguy metta un segno meno minuscolo e minuscolo:

Uh oh. Questa domanda fa rabbrividire la maggior parte delle persone la prima volta che lo vedono., Vuoi la radice quadrata di un numero inferiore a zero? E ‘ assurdo! (Storicamente, c’erano domande reali a cui rispondere, ma mi piace immaginare un saggio.)

Sembra pazzo, proprio come negativi, zero e irrazionali (numeri non ripetitivi) devono essere sembrati pazzi all’inizio. Non c’è un significato “reale” a questa domanda, giusto?

Sbagliato. I cosiddetti “numeri immaginari” sono normali come ogni altro numero (o altrettanto falsi): sono uno strumento per descrivere il mondo. Nello stesso spirito di assumere -1,.,3, e 0 “esiste”, supponiamo che un numero i esista dove:

Cioè, moltiplichi i da solo per ottenere -1. Che succede adesso?

Bene, prima abbiamo un mal di testa. Ma giocare al gioco “Facciamo finta di esistere” rende la matematica più facile e più elegante. Emergono nuove relazioni che possiamo descrivere con facilità.

Potresti non credere in i, proprio come quei vecchi matematici fuddy non credevano in -1. I nuovi concetti di torsione del cervello sono difficili e non hanno senso immediatamente, anche per Eulero., Ma come i negativi ci hanno mostrato, strani concetti possono ancora essere utili.

Non mi piace il termine “numero immaginario” — era considerato un insulto, un insulto, progettato per ferire i miei sentimenti. Il numero i è normale come gli altri numeri, ma il nome “immaginario” è bloccato, quindi lo useremo.

Comprensione visiva dei numeri negativi e complessi

Come abbiamo visto l’ultima volta, l’equazione x x^2 = 9 means significa davvero:

o

Quale trasformazione x, quando applicata due volte, trasforma 1 in 9?,

Le due risposte sono “x = 3” e “x = -3”: cioè, puoi “scalare per” 3 o “scalare per 3 e capovolgere” (capovolgere o prendere il contrario è un’interpretazione di moltiplicare per un negativo).

Ora pensiamo a x x^2 = -1$, che è davvero

Quale trasformazione x, quando applicata due volte, trasforma 1 in -1? Hrm.,

  • Non possiamo moltiplicare per un positivo due volte, perché il risultato rimane positivo
  • Non possiamo moltiplicare per un negativo due volte, perché il risultato tornerà positivo alla seconda moltiplicazione

Ma per quanto riguarda… una rotazione! Sembra pazzesco, ma se immaginiamo che x sia una “rotazione di 90 gradi”, quindi applicare x due volte sarà una rotazione di 180 gradi, o un flip da 1 a -1!

Yowza! E se ci pensiamo di più, potremmo ruotare due volte nell’altra direzione (in senso orario) per trasformare 1 in -1., Questa è una rotazione “negativa” o una moltiplicazione per-i:

Se moltiplichiamo per-i due volte, la prima moltiplicazione trasformerebbe 1 in-i e la seconda trasforma-i in -1. Quindi ci sono davvero due radici quadrate di -1: i e-i.

Questo è piuttosto bello. Abbiamo una sorta di risposta, ma cosa significa?,

  • non è un “nuovo immaginario dimensione” a misura di un numero
  • i (o -i) è quello che i numeri di “diventare” quando viene ruotato
  • Moltiplicando i è una rotazione di 90 gradi in senso antiorario
  • Moltiplicando per -i è una rotazione di 90 gradi in senso orario
  • Due rotazioni in entrambe le direzioni è -1: esso ci riporta nella “normali” dimensioni di numeri positivi e negativi.

I numeri sono 2-dimensionali. Sì, è mind bending, proprio come decimali o divisione lunga sarebbe mind-bending ad un antico romano. (Cosa vuoi dire che c’è un numero tra 1 e 2?)., È un modo strano e nuovo di pensare alla matematica.

Abbiamo chiesto ” Come trasformiamo 1 in -1 in due passaggi?”e ha trovato una risposta: ruotarlo di 90 gradi. È un modo strano e nuovo di pensare alla matematica. Ma è utile. (A proposito, questa interpretazione geometrica dei numeri complessi non è arrivata fino a decenni dopo la mia scoperta).

Inoltre, tieni presente che avere in senso antiorario essere positivo è una convenzione umana-facilmente avrebbe potuto essere il contrario.

Trovare modelli

Immergiamoci un po ‘ nei dettagli., Quando si moltiplicano i numeri negativi (come -1), si ottiene un modello:

  • 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1

Poiché -1 non cambia la dimensione di un numero, solo il segno, si gira avanti e indietro. Per alcuni numeri “x”, si otterrebbe:

  • x, -x, x, -x, x, -x

Questa idea è utile. Il numero ” x ” può rappresentare una settimana di capelli buona o cattiva. Supponiamo che le settimane si alternino tra il bene e il male; questa è una buona settimana; come sarà tra 47 settimane?

So-x significa una brutta settimana di capelli., Si noti come i numeri negativi “tengono traccia del segno”: possiamo lanciare $(-1)^{47} into in una calcolatrice senza dover contare (“La settimana 1 è buona, la settimana 2 è cattiva week la settimana 3 è buona…”). Le cose che girano avanti e indietro possono essere modellate bene con numeri negativi.

Ok. Ora che succede se continuiamo a moltiplicare per i io i?

Molto divertente. Riduciamo un po ‘ questo:

Rappresentato visivamente:

Cicliamo ogni 4a rotazione. Questo ha senso, giusto? Ogni bambino può dirti che 4 giri a sinistra sono uguali a nessun giro., Ora, piuttosto che concentrarsi su numeri immaginari (i i^, ^ i ^ 2.), guarda il modello generale:

  • X, Y, -X, -Y, X, Y, -X, -Y

Come i numeri negativi che modellano il flipping, i numeri immaginari possono modellare qualsiasi cosa che ruota tra due dimensioni “X” e “Y”. O qualsiasi cosa con una relazione ciclica e circolare-hai qualcosa in mente?

‘Perché sarebbe un peccato se non lo facessi. Ci sarà de Moivre di più negli articoli futuri.

Capire i numeri complessi

C’è un altro dettaglio da coprire: un numero può essere sia “reale” che “immaginario”?

Ci puoi scommettere., Chi dice che dobbiamo ruotare l’intero 90 gradi? Se manteniamo 1 piede nella dimensione “reale” e un altro in quella immaginaria, assomiglia a questo:

Siamo ad un angolo di 45 gradi, con parti uguali nel reale e nell’immaginario (1 + i). È come un hotdog con senape e ketchup-chi dice che devi scegliere?

In effetti, possiamo scegliere qualsiasi combinazione di numeri reali e immaginari e creare un triangolo. L’angolo diventa “angolo di rotazione”. Un numero complesso è il nome di fantasia per i numeri con parti reali e immaginarie., Sono scritti a + bi, dove

  • a è la parte reale
  • b è la parte immaginaria

Non troppo male. Ma c’è un’ultima domanda: quanto è” grande ” un numero complesso? Non possiamo misurare la parte reale o le parti immaginarie isolatamente, perché mancherebbe il quadro generale.

Facciamo un passo indietro. La dimensione di un numero negativo non è se puoi contarlo-è la distanza da zero. Nel caso dei negativi questo è:

Che è un altro modo per trovare il valore assoluto., Ma per i numeri complessi, come misuriamo due componenti ad angoli di 90 gradi?

È un uccello… è un aereo Pyth è Pitagora!

Accidenti, il suo teorema si presenta ovunque, anche in numeri inventati 2000 anni dopo il suo tempo. Sì, stiamo facendo un triangolo di sorta, e l’ipotenusa è la distanza da zero:

Pulito. Mentre misurare la dimensione non è facile come “far cadere il segno negativo”, i numeri complessi hanno i loro usi. Diamo un’occhiata.,

Un esempio reale: Rotazioni

Non aspetteremo fino alla fisica del college per usare numeri immaginari. Proviamoli oggi. C’è molto altro da dire sulla moltiplicazione complessa, ma tienilo a mente:

  • Moltiplicando per un numero complesso ruota per il suo angolo

Diamo un’occhiata. Supponiamo che io sia su una barca, con una direzione di 3 unità a est per ogni 4 unità a Nord. Voglio cambiare la mia rubrica di 45 gradi in senso antiorario. Qual è la nuova rubrica?

Alcuni hotshot diranno “È semplice!, Basta prendere il seno, coseno, gobbledegook dalla tangente flu fluxsom il foobar and e…”. Crack. Scusa, ti ho rotto la calcolatrice? Vuoi rispondere di nuovo a questa domanda?

Proviamo un approccio più semplice: siamo su un’intestazione di 3 + 4i (qualunque sia quell’angolo, non ci interessa davvero) e vogliamo ruotare di 45 gradi. Bene, 45 gradi è 1 + i (diagonale perfetta), quindi possiamo moltiplicare per quella quantità!,

Ecco l’idea:

Se li moltiplichiamo insieme otteniamo:

Quindi il nostro nuovo orientamento è 1 unità Ovest (-1 Est) e 7 unità Nord, che potresti estrarre e seguire.

Ma yowza! L’abbiamo scoperto in 10 secondi, senza toccare seno o coseno. Non c’erano vettori, matrici o tenere traccia del quadrante in cui ci troviamo. Era solo l’aritmetica con un tocco di algebra da moltiplicare incrociando. I numeri immaginari hanno le regole di rotazione cotte in: funziona solo.

No, lo convertiresti in coseno e seno ( -.,14 e .99), trova un rapporto ragionevole tra loro (circa 1 a 7) e disegna il triangolo. I numeri complessi ti battono, istantaneamente, con precisione e senza una calcolatrice.

Se siete come me, troverete questo uso strabiliante. E se non lo fai, beh, temo che la matematica non ti allontani. Spiacente.

La trigonometria è ottima, ma i numeri complessi possono rendere semplici i brutti calcoli (come il calcolo del coseno(a+b) ). Questa è solo un’anteprima; articoli successivi vi darà il pasto completo.,

A parte: alcune persone pensano ” Hey, non è utile avere intestazioni Nord / Est invece di un angolo di grado da seguire!”

Davvero? Ok, guarda la tua mano destra. Qual è l’angolo dalla parte inferiore del mignolo alla parte superiore del dito indice? Buona fortuna a capirlo da solo.

Con un’intestazione, puoi almeno dire “Oh, è X pollici e Y pollici in su” e avere qualche possibilità di lavorare con quel cuscinetto.

I numeri complessi non sono

È stato un tour vorticoso delle mie intuizioni di base. Date un’occhiata al primo grafico — dovrebbe avere senso ora.,

C’è molto di più in questi bellissimi numeri demenziali, ma il mio cervello è stanco. I miei obiettivi erano semplici:

  • Convincerti che i numeri complessi erano considerati “pazzi” ma possono essere utili (proprio come lo erano i numeri negativi)
  • Mostra come i numeri complessi possono rendere più facili certi problemi, come le rotazioni

Se mi sembra caldo e infastidito da questo argomento, c’è una ragione. I numeri immaginari sono stati un’ape nel mio cofano per anni – la mancanza di un’intuizione intuitiva mi ha frustrato.

Ora che ho finalmente avuto intuizioni, sto scoppiando a condividerle., Ma mi frustra che tu stia leggendo questo sul blog di un pazzo dagli occhi selvaggi, e non in una classe. Soffochiamo le nostre domande e “chug attraverso” — perché non cerchiamo e condividiamo intuizioni pulite e intuitive. Egad.

Ma meglio accendere una candela che maledire il buio: ecco i miei pensieri, e uno di voi brillerà un riflettore. Pensare di aver “capito” un argomento come i numeri è ciò che ci tiene nella terra dei numeri romani.

Ci sono numeri molto più complessi: controlla i dettagli dell’aritmetica complessa. Buona matematica.

Epilogo: Ma sono ancora strani!,

Lo so, sono ancora strani anche a me. Cerco di mettermi nella mente della prima persona a scoprire zero.

Zero è un’idea così strana, avere “qualcosa” rappresenta “nulla”, ed è sfuggito ai romani. I numeri complessi sono simili: è un nuovo modo di pensare. Ma sia i numeri zero che quelli complessi rendono la matematica molto più facile. Se non adottassimo mai strani, nuovi sistemi numerici, conteremmo ancora sulle nostre dita.

Ripeto questa analogia perché è così facile iniziare a pensare che i numeri complessi non siano “normali”., Teniamo la mente aperta: in futuro ridacceranno che i numeri complessi erano una volta diffidati, anche fino agli anni 2000.

Se vuoi più nocciolo, dai un’occhiata a wikipedia, alla discussione di Dr. Math o ad un altro argomento sul perché esistono numeri immaginari.,

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