Precálculo

ángulos de referencia

el ángulo de referencia de un ángulo es la medida del ángulo más pequeño, positivo, agudo t formado por el lado terminal del ángulo t y el eje horizontal. Por lo tanto, los ángulos de referencia positivos tienen lados terminales que se encuentran en el primer cuadrante y pueden usarse como modelos para ángulos en otros cuadrantes. Vea la Figura 1 Para ejemplos de ángulos de referencia para ángulos en diferentes cuadrantes.,

el Uso de Ángulos de Referencia

ángulos de Referencia se puede evaluar funciones trigonométricas para los ángulos fuera del primer cuadrante. También se pueden usar para encontrar coordenadas \left(x,y\right) para esos ángulos., Utilizaremos el ángulo de referencia del ángulo de rotación combinado con el cuadrante en el que se encuentra el lado terminal del ángulo. Podemos encontrar el valor trigonométrico exacto de cualquier ángulo en cualquier cuadrante si aplicamos la función trigonométrica al ángulo de referencia. El signo depende del cuadrante del ángulo original.

los valores de la función trigonométrica para el ángulo original serán los mismos que los del ángulo de referencia, excepto para el signo positivo o negativo, que está determinado por los valores x E y en el cuadrante original. La figura 3 muestra qué funciones son positivas en qué cuadrante.,

para ayudarnos a recordar cuál de las seis funciones trigonométricas son positivas en cada cuadrante, podemos usar la frase mnemotécnica «todos los estudiantes toman cálculo» cada una de las cuatro palabras de la frase corresponde a uno de los cuatro cuadrantes, comenzando con el cuadrante I y girando en sentido contrario a las agujas del reloj. En el cuadrante I, que es «A», todas las seis funciones trigonométricas son positivas. En el cuadrante II, «Estudiantes», solo el seno y su función recíproca, cosecante, son positivos. En el cuadrante III, «toma», solo la tangente y su función recíproca, la cotangente, son positivas., Finalmente, en el cuadrante IV,» cálculo » solo el coseno y su función recíproca, secante, son positivos.

Clave de Ecuaciones

Coseno	\cos t=x
Sine	\sen t=y
Identidad Pitagórica	{\cos }^{2}t+{\pecado }^{2}t=1

Conceptos Clave

• El seno y el coseno de un ángulo tienen el mismo valor absoluto como el seno y el coseno de su ángulo de referencia.,
• Los signos del seno y el coseno se determinan a partir de los valores x E y en el cuadrante del ángulo original.
• El ángulo de referencia de un ángulo es el ángulo de tamaño, T, formado por el lado terminal del ángulo t y el eje horizontal.
• Los ángulos de referencia se pueden utilizar para encontrar el seno y el coseno del ángulo original.
• Los ángulos de referencia también se pueden usar para encontrar las coordenadas de un punto en un círculo.

Sección 4.4 ejercicios de tarea

1. Discuta la diferencia entre un ángulo coterminal y un ángulo de referencia.

2., Explicar cómo el coseno de un ángulo en el segundo cuadrante difiere del coseno de su ángulo de referencia en el círculo unitario.

3. Explique cómo el seno de un ángulo en el segundo cuadrante difiere del seno de su ángulo de referencia en el círculo unitario.

4. ¿Cuál es el propósito de un ángulo de referencia?

para los siguientes ejercicios, indique el ángulo de referencia para el ángulo dado.

5. 240^ \ circ

6. -170^ \ circ

7. 460^ \ circ

8. -675^ \ circ

9. 135^ \ circ

10. \frac{5 \ pi} {4}

11. \frac{2 \ pi} {3}

12. \frac{17 \ pi }{6}

13., – \frac{17 \ pi} {3}

14. – \frac{7 \ pi} {4}

15. – \frac {\pi} {8}

para los siguientes ejercicios, encuentre el ángulo de referencia, el cuadrante del lado terminal y el seno, coseno de cada ángulo.

16. 225^ \ circ

17. 300^ \ circ

18. 315^ \ circ

19. 135^ \ circ

20. 570^ \ circ

21. 480^ \ circ

22. -120^ \ circ

23. -210^ \ circ

24. \frac{5 \ pi} {4}

25. \frac{7 \ pi} {6}

26. \frac{5 \ pi} {3}

27. \frac{3 \ pi} {4}

28. \frac{4 \ pi} {3}

29. \frac{2 \ pi} {3}

30. \frac{-19 \ pi }{6}

31., \frac{-9 \ pi} {4}

para los siguientes ejercicios, encuentre el ángulo de referencia, el cuadrante del lado terminal y el valor exacto de la función trigonométrica.

32. \tan \ frac{5 \ pi} {6}

33. \sec \ frac{7 \ pi} {6}

34. \csc \ frac{11 \ pi }{6}

35. \cot \ frac{13 \ pi }{6}

36. \tan \ frac{15 \ pi} {4}

37. \sec \ frac{3 \ pi} {4}

38. \csc \ frac{5 \ pi} {4}

39. \cot \ frac{11 \ pi} {4}

40. \tan \ left (- \frac{4\pi }{3}\right)

41. \sec \ left (- \frac{2\pi }{3}\right)

42. \csc \ left (- \frac{10\pi }{3}\right)

43., \cot \ left (- \frac{7\pi }{3}\right)

44. \tan 225^ \ circ

45. \sec 300^ \ circ

46. \csc 510^\circ

47. \cot 600^ \ circ

48. \tan \ left (-30^\circ\right)

49. \sec \ left (-210^\circ\right)

50. \csc \ left (-510^\circ\right)

51. \cot \ left (-405^\circ\right)

en los siguientes ejercicios, utilice un triángulo rectángulo para encontrar el valor exacto.

52. Si \text {sin} t = \frac{3}{4}, y t está en el cuadrante II, busque \cos t,\sec t,\csc t,\tan t, \ cot t.

53. Si \text{cos} t = – \frac{1}{3}, y t está en el cuadrante III, encuentre \sin T, \ sec t,\csc t,\tan t,\cot t.,

54. If \tan t=\frac{12}{5}, and 0\le t<\frac{\pi }{2}, find \sin T,\cos t,\sec t, \ csc t, and \cot T.

55. Si \sin T = \frac {\sqrt{3}}{2} y \cos t=\frac{1}{2}, encuentre \sec t,\csc t,\tan t y \cot t.

para los siguientes ejercicios, encuentre el valor exacto utilizando ángulos de referencia.

56. \sin \ left (\frac{11\pi}{3}\right)\cos\left (\frac{-5\pi}{6}\right)

57. \sin \ left (\frac{3\pi}{4}\right)\cos\left (\frac{5\pi}{3}\right)

58. \sin \ left (\frac{-4\pi}{3}\right)\cos\left (\frac{\pi}{2}\right)

59., \sin \ left (\frac{-9\pi}{4}\right)\cos\left (\frac{-\pi}{6}\right)

60. \sin \ left (\frac{\pi}{6}\right)\cos\left (\frac{-\pi}{3}\right)

61. \sin \ left (\frac{7\pi}{4}\right)\cos\left (\frac{-2\pi}{3}\right)

62. \cos \ left (\frac{5\pi}{6}\right)\cos\left (\frac{2\pi}{3}\right)

63. \cos \ left (\frac{-\pi}{3}\right)\cos\left (\frac{\pi}{4}\right)

64. \sin \ left (\frac{-5\pi}{4}\right)\sin\left (\frac{11\pi}{6}\right)

65. \sin \ left (\pi\right)\sin\left (\frac {\pi}{6} \ right)