Imaginary numbers always confused me. Assim como compreender e, a maioria das explicações caiu em uma de duas categorias:
- É uma abstração matemática, e as equações funcionam. Lida com isso.é usado em física avançada, confia em nós. Espera até à Universidade.Gee, que ótima maneira de encorajar a matemática em crianças! Hoje vamos atacar este tópico com as nossas ferramentas favoritas:
- Com foco em relações, não fórmulas mecânicas.,ver números complexos como uma atualização para o nosso sistema de números, assim como zero, decimais e negativos eram.
- usando diagramas visuais, não apenas texto, para entender a ideia.
And our secret weapon: learning by analogy. Aproximamo-nos dos números imaginários observando o seu ancestral, os negativos. Aqui está o seu guia:
não faz sentido ainda, mas aguente-se aí. No final, vamos caçar – me e colocá-lo num bloqueio de cabeça, em vez do inverso.,
Video Walkthrough:
really Understanding Negative Numbers
Negative numbers are not easy. Imagine que você é um matemático Europeu em 1700. você tem 3 e 4, e sabe que você pode escrever 4-3 = 1. Simples.mas e que tal 3-4? O que é que isso quer dizer? Como pode tomar 4 vacas de 3? Como podes ter menos do que nada?
negativos foram considerados absurdos, algo que” escureceu as doutrinas muito inteiras das equações ” (Francis Maseres, 1759). No entanto, hoje, seria absurdo pensar que os negativos não são lógicos ou úteis., Tenta perguntar ao teu professor se os negativos corrompem os próprios fundamentos da matemática.o que aconteceu? Nós inventamos um número teórico que tinha propriedades úteis. Os negativos não são algo que possamos tocar ou segurar, mas eles descrevem certas relações bem (como a dívida). Era uma ficção útil.em vez de dizer “devo-te 30” e ler palavras para ver se estou para cima ou para baixo, Posso escrever “-30” e saber que significa que estou no buraco. Se eu ganhar dinheiro e pagar minhas dívidas (-30 + 100 = 70), eu posso gravar a transação facilmente. Tenho mais de 70 depois, o que significa que estou livre.,
os sinais positivos e negativos automaticamente manter o controle da direção — você não precisa de uma frase para descrever o impacto de cada transação. A matemática tornou-se mais fácil, mais elegante. Não importava se os negativos eram “tangíveis” — eles tinham propriedades úteis, e nós os usamos até que eles se tornaram itens cotidianos. Hoje, chamarias nomes obscenos a alguém se não” apanhassem ” negativos.
But let’s not be smug about the struggle: negative numbers were a huge mental shift. Mesmo Euler, o gênio que descobriu e e muito mais, não entendeu os negativos como nós entendemos hoje., Eles foram considerados resultados “sem sentido” (ele mais tarde compensou isso em estilo).é uma prova do nosso potencial mental que se espera que as crianças de hoje compreendam ideias que outrora confundiram matemáticos antigos.
indique números imaginários
números imaginários têm uma história semelhante. Podemos resolver equações como esta o dia todo:
As respostas são 3 e -3. Mas suponha que algum espertinho coloca um sinal minúsculo e minúsculo:
Uh oh. Esta pergunta faz com que a maioria das pessoas se encolham da primeira vez que a vêem., Queres a raiz quadrada de um número inferior a zero? Isso é absurdo! (Historicamente, havia perguntas reais para responder, mas eu gosto de imaginar um mafioso.)
parece loucura, assim como negativos, zero e irracionais (números não repetitivos) devem ter parecido loucos no início. Não há” real ” significado para esta pergunta, certo?errado. Os chamados “números imaginários” são tão normais quanto qualquer outro número (ou apenas falsos): são uma ferramenta para descrever o mundo. No mesmo espírito de assumir-1,.,3, and 0 “exist”, let’s assume some number i exists where:
isto é, you multiply i by itself to get -1. O que acontece agora?bem, primeiro temos uma dor de cabeça. Mas jogar o jogo “vamos fingir que eu existo” torna a matemática mais fácil e elegante. Surgem novas relações que podemos descrever com facilidade.você pode não acreditar em mim, assim como aqueles matemáticos velhos não acreditavam em -1. Novos conceitos de torção cerebral são difíceis e não fazem sentido imediatamente, mesmo para Euler., Mas como os negativos nos mostraram, conceitos estranhos ainda podem ser úteis.eu não gosto do termo “número imaginário” — foi considerado um insulto, um insulto, projetado para ferir os sentimentos de i. O número i é tão normal como os outros números, mas o nome “imaginário” encravou, por isso vamos usá-lo.
Compreensão Visual do Negativo e Números Complexos
Como vimos da última vez, a equação $x^2 = 9$ significa realmente:
ou
o Que a transformação de x, quando aplicado duas vezes, as curvas 1 a 9?,
As duas respostas são “x = 3” e “x = -3”: isto é, você pode “escalar por” 3 ou “escala por 3 e virar” (flipando ou tomando o oposto é uma interpretação de multiplicação por um negativo).
Agora vamos pensar em $x^2 = -1$, que é realmente
Que transformação x, quando aplicada duas vezes, transforma 1 em -1? Humano.,
- não podemos multiplicar por um positivos duas vezes, porque o resultado se mantém positiva
- não podemos multiplicar por um negativo duas vezes, porque o resultado vai virar de volta para o positivo na segunda multiplicação
Mas o que sobre… uma rotação! Parece loucura, mas se imaginarmos x sendo uma “rotação de 90 graus”, então aplicar X duas vezes será uma rotação de 180 graus, ou uma inversão de 1 para -1!
Yowza! E se pensarmos mais sobre isso, poderíamos rodar duas vezes na outra direção (no sentido horário) para transformar 1 em -1., Esta é a rotação “negativa”ou uma multiplicação por-i:
se multiplicarmos por-i duas vezes, a primeira multiplicação transformaria 1 em-i, e a segunda transformação-i em -1. Então há realmente duas raízes quadradas de -1: i e-I.
isto é muito legal. Temos uma resposta, mas o que significa?,
- i é um “novo imaginário dimensão” para medir um número
- i (ou-i) é o que os números de “tornar-se” quando rodado
- Multiplicando eu é uma rotação de 90 graus no sentido anti-horário
- Multiplicando -i é uma rotação de 90 graus para a direita
- Duas rotações em qualquer direção, o que é -1: isso nos traz de volta para o “regular” dimensões dos números positivos e negativos.
os números são bidimensionais. Sim, é dobrar a mente, tal como dizimais ou divisão longa seria dobrar a mente para um romano antigo. (Como assim, há um número entre 1 e 2?)., É uma forma estranha e Nova de pensar em matemática.perguntamos “como transformamos 1 em -1 em dois passos?”e encontrou uma resposta: gire 90 graus. É uma forma estranha e Nova de pensar em matemática. Mas é útil. (A propósito, esta interpretação geométrica de Números Complexos só chegou décadas depois de eu ter sido descoberto).
também, tenha em mente que ter no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio ser positivo é uma convenção humana-facilmente poderia ter sido o contrário.
encontrar padrões
vamos mergulhar um pouco nos detalhes., Ao multiplicar números negativos( como -1), você obtém um padrão:
- 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1
Uma vez que -1 não altera o tamanho de um número, apenas o sinal, você vira para a frente e para trás. Para algum Número “x”, você teria:
- x,- x, x,- x, x,- x…
esta ideia é útil. O número “x” pode representar uma semana de cabelo bom ou mau. Suponha que as semanas alternam entre o bem e o mal; esta é uma boa semana; como será em 47 semanas?
So-x significa uma semana de cabelo ruim., Note como os números negativos “manter o controle do sinal”: nós podemos jogar $(-1)^{47}$ em uma calculadora sem ter que contar (“semana 1 é bom, semana 2 é ruim… semana 3 é bom…”). Coisas que cambaleiam para a frente e para trás podem ser modeladas bem com números negativos.Ok. E agora, o que acontece se continuarmos a multiplicar-nos por $i$?
muito engraçado. Vamos reduzir isto um pouco:
representado visualmente:
nós ciclo a cada 4ª rotação. Isto faz sentido, certo? Qualquer miúdo pode dizer-te que 4 voltas à esquerda é igual a nenhuma volta., Agora, ao invés de se concentrar em números imaginários ($i$, $i^2$), olha o padrão geral:
- X, Y, -X, -Y, X, Y, -X, -Y…
Como números negativos modelagem de inversão de números imaginários podem modelo de tudo o que gira entre duas dimensões “X” e “Y”. Ou algo com uma relação cíclica e circular tem alguma coisa em mente?porque seria um pecado se não o fizesses.
compreender os números complexos
há outro detalhe a cobrir: pode um número ser tanto “real” quanto “imaginário”?podes apostar., Quem disse que temos de rodar os 90 graus? Se mantivermos um pé na dimensão “real”e outro no imaginário, parece que é assim:
estamos num ângulo de 45 graus, com partes iguais no real e imaginário (1 + i). É como um cachorro quente com mostarda e ketchup. quem disse que tens de escolher?
na verdade, podemos escolher qualquer combinação de números reais e imaginários e fazer um triângulo. O ângulo torna-se o”ângulo de rotação”. Um número complexo é o nome fino para números com partes reais e imaginárias., Eles são escritos a + bi, onde
- a é a parte real
- b é a parte imaginária
Não é muito ruim. Mas há uma última pergunta: Quão “grande” é um número complexo? Não podemos medir a parte real ou a parte imaginária isoladamente, porque isso perderia o panorama geral.vamos recuar. O tamanho de um número negativo não é se você pode contá — lo-é a distância de zero. No caso dos negativos isto é:
Que é outra maneira de encontrar o valor absoluto., Mas para números complexos, como medimos dois componentes em ângulos de 90 graus?é um pássaro… é um avião… é Pitágoras!Geez, seu teorema aparece em todos os lugares, mesmo em números inventados 2000 anos depois de seu tempo. Sim, estamos fazendo um triângulo de sortes, e a hipotenusa é a distância de zero:
puro. Enquanto medir o tamanho não é tão fácil como “deixar cair o sinal negativo”, números complexos têm seus usos. Vamos dar uma vista de olhos.,
um exemplo Real: Rotações
não vamos esperar até que a física universitária use números imaginários. Vamos experimentá-los hoje. Há muito mais a dizer sobre multiplicação complexa, mas tenha isto em mente:
- multiplicando por um número complexo roda pelo seu ângulo
vamos dar uma olhada. Suponha que estou num barco, com um rumo de 3 unidades a leste para cada 4 unidades a norte. Quero mudar a minha direcção 45 graus no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio. Qual é o novo rumo?
algum espertalhão dirá ” isso é simples!, Pegue o seno, o cosseno, o gobbledegook pela tangente … fluxsom o foobar…e…”. Crack. Desculpa, parti a tua calculadora? Quer responder outra vez a essa pergunta?
vamos tentar uma abordagem mais simples: estamos em um rumo de 3 + 4i (seja qual for o ângulo; não nos importamos realmente), e queremos rodar em 45 graus. Bem, 45 graus é 1 + i (diagonal perfeita), então podemos multiplicar por essa quantidade!,
Aqui está a ideia:
Se os multiplicarmos juntos obtemos:
portanto, a nossa nova orientação é 1 unidade a oeste (-1 Leste), e 7 unidades a norte, que poderá extrair e seguir.mas yowza! Descobrimos isso em 10 segundos, sem tocar seno ou cosseno. Não havia vetores, matrizes, ou manter o controle do quadrante em que estamos. Era apenas aritmética com um toque de álgebra para se multiplicar. Os números imaginários têm as regras de rotação asseadas: apenas funciona.
Não, você converte-o em cosseno e seno ( -.,14 e .99), encontrar uma razão razoável entre eles (cerca de 1 a 7), e esboçar o triângulo. Números complexos batem-lhe, instantaneamente, com precisão, e sem uma calculadora.se fores como eu, vais achar isto um espanto. E se não o fizeres, receio que a matemática não te toque a buzina. Triste.
trigonometria é grande, mas números complexos podem fazer cálculos feios simples(como calcular cosseno (a+b))). Isto é apenas uma antevisão; os artigos posteriores dar-lhe-ão a refeição completa.,
aparte: algumas pessoas pensam: “Ei, não é útil ter rubricas Norte/leste em vez de um ângulo de grau a seguir!a sério? Olha para a tua mão direita. Qual é o ângulo entre o fundo do mindinho e o topo do dedo indicador? Boa sorte a descobrir isso sozinho.com um rumo, você pode pelo menos dizer “oh, É x polegadas de diâmetro e Y polegadas para cima” e ter alguma chance de trabalhar com esse rolamento.
os números complexos não são
isso foi uma viagem relâmpago das minhas ideias básicas. Dê uma olhada no primeiro gráfico-deve fazer sentido agora.,há muito mais nestes belos números, mas o meu cérebro está cansado. Meus objetivos são simples:
- Convencê-lo de que os números complexos foram consideradas “loucas”, mas pode ser útil (assim como números negativos foram)
- Mostrar como os números complexos podem fazer determinados problemas mais fáceis, como rotações
Se eu parecer quente e incomodado sobre este tópico, há uma razão. Números imaginários têm sido uma abelha no meu chapéu há anos – a falta de uma visão intuitiva frustrou-me.agora que finalmente tive ideias, estou prestes a partilhá-las., Mas fico frustrado por estares a ler isto no blog de um lunático de olhos selvagens, e não numa sala de aula. Sufocamos nossas Perguntas e” encolhe ” — porque não buscamos e compartilhamos insights limpos e intuitivos. Egad.
mas é melhor acender uma vela do que amaldiçoar a escuridão: Aqui estão os meus pensamentos, e um de vocês vai brilhar um holofote. Pensar que” descobrimos ” um tópico como os números é o que nos mantém na terra dos números romanos.
Há números muito mais complexos: confira os detalhes da aritmética complexa. Boa matemática.
epílogo: mas eles ainda são estranhos!,eu sei, eles ainda são estranhos para mim também. Tento colocar-me na mente da primeira pessoa a descobrir zero.
Zero é uma ideia tão estranha, ter “algo” representa “nada”, e iludiu os romanos. Números complexos são semelhantes – é uma nova maneira de pensar. Mas os números zero e complexos tornam a matemática muito mais fácil. Se nunca adoptássemos novos e estranhos sistemas de números, ainda estaríamos a contar com os nossos dedos.
repito esta analogia porque é tão fácil começar a pensar que números complexos não são “normais”., Vamos manter nossa mente aberta: no futuro, eles vão rir de que os números complexos foram uma vez desconfiava, até os anos 2000.
Se você deseja mais nitty-gritty, confira wikipédia, o Dr. Matemática de discussão, ou outro argumento sobre por que os números imaginários existe.,
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