numa dimensão, o estado do solo da equação de Schrödinger pode ser provado não ter nós.

DerivationEdit

considere a energia média de um estado com um nó em x = 0; i.e., ψ(0) = 0. A média de energia neste estado seria

⟨ ψ | H | ψ ⟩ = ∫ d x ( − ℏ 2 2 m ψ ∗ d 2 ψ d x 2 + V ( x ) | ψ ( x ) | 2 ) , {\displaystyle \langle \psi |H|\psi \rangle =\int dx\,\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\psi ^{*}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)|\psi (x)|^{2}\right),}

, onde V(x) é o potencial.,

Supondo que ψ ( x ) ≈ − c x {\displaystyle \psi (x)\approx -cx} em torno de x = 0 {\displaystyle x=0} , pode-se escrever

ψ ‘ ( x ) = N { | ψ ( x ) | , | x | > ϵ , c ϵ , | x | ≤ ϵ , {\displaystyle \psi ‘(x)=N{\begin{cases}|\psi (x)|,&|x|>\epsilon ,\\c\epsilon ,&|x|\leq \epsilon ,\end{cases}}}

, onde N = 1 1 + 4 3 | c | 2 ϵ 3 {\displaystyle N={\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {4}{3}}||c^{2}\epsilon ^{3}}}}} é a norma.,

por outro lado, no intervalo x ∈ {\displaystyle x\in }, temos

V avg ϵ ‘= ∫ − ϵ ϵ d x V ( x ) | ψ ‘ | 2 = ϵ 2 | c| 2 1 + 4 3 | c | 2 ϵ 3 ∫ − ϵ ϵ d x V ( x ) ≃ 2 ϵ 3 | c | 2 V ( 0 ) + ⋯ , {\displaystyle {V_{\text{avg}}^{\epsilon }}’=\int _{-\epsilon }^{\epsilon }dx\,V(x)|\psi ‘|^{2}={\frac {\epsilon ^{2}|c|^{2}}{1+{\frac {4}{3}}||c^{2}\epsilon ^{3}}}\int _{-\epsilon }^{\epsilon }dx\,V(x)\simeq 2\epsilon ^{3}|c|^{2}V(0)+\cdots ,}

que contém a ordem ϵ 3 {\displaystyle \epsilon ^{3}} .,

no Entanto, a contribuição para a energia potencial da região para o estado ψ com um nó

V avg ϵ = ∫ − ϵ ϵ d x V ( x ) | ψ | 2 = | c | 2 ∫ − ϵ ϵ d x x 2 V ( x ) ≃ 2 3 ϵ 3 | c | 2 V ( 0 ) + ⋯ , {\displaystyle V_{\text{avg}}^{\epsilon }=\int _{-\epsilon }^{\epsilon }dx\,V(x)|\psi |^{2}=|c|^{2}\int _{-\epsilon }^{\epsilon }dx\,x^{2}V(x)\simeq {\frac {2}{3}}\epsilon ^{3}|c|^{2}V(0)+\cdots ,}

podemos, portanto, remover todos os nós e reduzir o consumo de energia por S ( ϵ ) {\displaystyle O(\epsilon )} , o que implica que ψ’ não pode ser a base para o estado., Assim, a função de onda de Estado-solo não pode ter um nó. Isto completa a prova. (A energia média pode então ser ainda mais reduzida eliminando ondulações, ao mínimo absoluto variacional.)

ImplicationEdit

Como o estado fundamental tem nenhum de nós é espacialmente não-degenerada, isto é, não há dois estacionário estados quânticos com a energia eigenvalue do estado fundamental (vamos nome E g {\displaystyle E_{g}} ) e o mesmo spin do estado e, portanto, seria apenas diferem na sua posição de espaço de funções de onda., | ψ 1 ( x, 0 , 0 ) | 2 + | ψ 2 ( x, 0 , 0 ) | 2 > 0 {\displaystyle a={\sqrt {|\psi _{1}(x_{0},0)|^{2}+|\psi _{2}(x_{0},0)|^{2}}}>0\,} (de acordo com a premissa de que nenhum de nós)

Note que o estado fundamental pode ser degenerado devido a diferentes estados de spin como | ⟩ {\displaystyle \left|\seta para cima \right\rangle } e | ↓ ⟩ {\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle } apesar de ter a mesma posição de espaço de função de onda: Qualquer superposição desses estados criaria um misto de rotação do estado, mas deixar espacial parte (como um fator comum de ambos) inalterada.,