Sources and contents of the Elements
Euclid compiled his Elements from a number of works of earlier men. Entre estes estão Hipócrates de Quios (florescido por volta de 440 a. C.), que não deve ser confundido com o médico Hipócrates de Cos (C. 460-375 a. C.). O último compilador antes de Euclides foi Teúdio, cujo livro foi usado na academia e foi provavelmente o usado por Aristóteles (384-322 a. C.). Os elementos mais antigos foram imediatamente substituídos por Euclides e depois esquecidos., Para seu assunto Euclides sem dúvida se baseou em todos os seus antecessores, mas é claro que todo o projeto de seu trabalho foi seu próprio, culminando na construção dos cinco sólidos regulares, agora conhecidos como os sólidos platônicos.
um breve levantamento dos elementos contradiz uma crença comum de que diz respeito apenas à geometria. Este equívoco pode ser causado pela leitura não mais do que os livros I A IV, que cobrem geometria plana elementar., Euclides entendeu que a construção de uma lógica e geometria rigorosa (e a matemática) depende do foundation, uma fundação que Euclides começou em Livro, eu com 23 definições (como “um ponto é o que não tem parte” e “a linha é um comprimento sem largura”), cinco suposições não provadas que Euclides chamou postulados (agora conhecidos como axiomas), e mais cinco suposições não provadas que ele chamou de noções comuns. (Ver quadro dos 10 pressupostos iniciais de Euclid.) Book I then proves elementary theorems about triangles and parallelograms and ends with the Pythagorean theorem., (For Euclid’s proof of the theorem, see Sidebar: Euclid’s Windmill Proof.)
| axiomas de Euclides | |
|---|---|
| 1 | Dado dois pontos não é uma linha reta que os une. |
| 2 | um segmento de linha reta pode ser prolongado indefinidamente., |
| 3 | um círculo pode ser construído quando um ponto para o seu centro e uma distância para o seu raio são dadas.todos os ângulos retos são iguais. |
| 5 | Se uma linha reta, caindo em duas linhas retas faz os ângulos interiores do mesmo lado menor do que dois ângulos retos, as duas linhas retas, se produzido indefinidamente, se reúnem do lado em que os ângulos são menores que dois ângulos retos., |
| Euclides noções comuns | |
| 6 | As coisas iguais à mesma coisa são iguais. |
| 7 | se forem adicionados iguais a iguais, os totais são iguais. |
| 8 | se os valores são subtraídos de iguais, os restantes são iguais. |
| 9 | as coisas que coincidem entre si são iguais. |
| 10 | o todo é maior que uma parte., |
O tema do Livro II tem sido chamado de álgebra geométrica porque algébricas, identidades como teoremas sobre equivalentes de figuras geométricas. O Livro II contém uma construção de “a seção”, a divisão de uma linha em duas partes, de modo que a razão entre o segmento maior e o menor é igual à razão da linha original para o segmento maior. (Esta divisão foi renomeada para seção dourada no Renascimento depois que artistas e arquitetos redescobriram suas proporções agradáveis.,) Book II also generalizes the Pythagorean theorem to arbitrary triangles, a result that is equivalent to the law of cosines (see plane trigonometry). O Livro III trata das propriedades dos círculos e o Livro IV da construção de polígonos regulares, em particular o Pentágono.
Book V shifts from plane geometry to expound a general theory of ratios and proportions that is attributed by Proclus (along with Book XII) to Eudoxus of Cnidus (C. 395/390–342/337 bce)., Enquanto o Livro V pode ser lido independentemente do resto dos elementos, sua solução para o problema dos incomensuráveis (números irracionais) é essencial para os livros posteriores. Além disso, formou a base para uma teoria geométrica dos números até uma teoria analítica desenvolvida no final do século XIX. O Livro VI aplica esta teoria de rácios em relação à geometria plana, principalmente triângulos e paralelogramos, culminando na “aplicação de áreas”, um procedimento para resolver problemas quadráticos por meios geométricos.,
os livros VII–IX contêm elementos da teoria dos números, onde Número (aritmos) significa inteiros positivos superiores a 1. Começando com 22 novas definições – como unidade, até, ímpar e prime—estes livros desenvolvem várias propriedades dos inteiros positivos. Por exemplo, Livro VII descreve um método, antanaresis (agora conhecido como o algoritmo Euclidiano), para encontrar o maior divisor comum de dois ou mais números; Livro VIII examina os números continuaram proporções, agora conhecido como sequências geométricas (como ax, ax2, ax3, ax4…); e Livro IX prova que há um número infinito de números primos.,de acordo com Proclo, os livros X e XIII incorporam o trabalho do Teeteto pitagórico (C. 417-369 a. C.). O livro X, que compreende aproximadamente um quarto dos elementos, parece desproporcional à importância de sua classificação de linhas e áreas incomensuráveis (embora o estudo deste livro inspirasse Johannes Kepler em sua busca por um modelo cosmológico).livros XI-XIII examinam figuras tridimensionais, em estereometria grega. O livro XI diz respeito às intersecções de planos, linhas e paralelepípedos (sólidos com paralelogramos paralelos como faces opostas)., O livro XII aplica o método de exaustão de Eudoxo para provar que as áreas dos círculos são um para o outro como os quadrados de seus diâmetros e que os volumes de esferas são um para o outro como os cubos de seus diâmetros. O livro XIII culmina com a construção dos cinco sólidos platônicos regulares (pirâmide, cubo, octaedro, dodecaedro, icosaedro) em uma dada esfera, como mostrado na animação.,
Encyclopædia Britannica, Inc.
O desnível de vários livros e as diversas matemática níveis pode dar a impressão de que Euclides foi, mas um editor de tratados escritos por outros matemáticos., Em certa medida isso é certamente verdade, embora seja provavelmente impossível descobrir quais partes são suas e quais foram adaptações de seus antecessores. Os contemporâneos de Euclides consideraram sua obra final e autorizada; se mais fosse dito, teria que ser como comentários aos elementos.
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