funções de um único edit variável

1. Uma função diferenciável f é (estritamente) côncava em um intervalo se e somente se sua função derivada f ‘ é (estritamente) monotonicamente diminuindo nesse intervalo, isto é, uma função côncava tem uma inclinação não crescente (decrescente).2. Pontos onde a concavidade muda (entre côncavo e convexo) são pontos de inflexão.3. Se f é duas vezes diferenciável, então f é côncavo se e somente se f ” é não-positivo (ou, informalmente, se a “aceleração” é não-positiva)., Se sua segunda derivada é negativa, então ela é estritamente côncava, mas o inverso não é verdadeiro, Como mostrado por f(x) = −x4.4. Se f é côncavo e diferenciável, então é limitado acima por sua aproximação de Taylor de primeira ordem:

f ( y ) ≤ f ( x ) + f ‘(x ) {\displaystyle f(y)\leq f(x)+f'(x)}

5. Um Lebesgue mensurável função em um intervalo de C é côncava se, e somente se, é ponto médio côncava, isto é, para quaisquer x e y em C

f ( x + y 2 ) ≥ f ( x ) + f ( y ) 2 {\displaystyle f\left({\frac {x+y}{2}}\right)\geq {\frac {f(x)+f(y)}{2}}}

6., Se uma função f é côncava, e f(0) ≥ 0, então f é subaditiva em [0,∞ ) {\displaystyle [0,\infty )} . Prova:

f ( a ) + f ( b ) = f ( ( a + b ) a + b ) + f ( ( a + b ) b a + b ) ≥ a + b f ( a + b ) + b a + b f ( a + b ) = f ( a + b ) {\displaystyle f(a)+f(b)=f\left((a+b){\frac {a}{a+b}}\right)+f\left((a+b){\frac {b}{a+b}}\right)\geq {\frac {a}{a+b}}f(a+b)+{\frac {b}{a+b}}f(a+b)=f(a+b)}

Funções de n variablesEdit

1. Uma função f é côncava sobre um conjunto convexo se e somente se a função −f é uma função convexo sobre o conjunto.2., A soma de duas funções côncavas em si é côncava e assim é a pointwise mínimo de duas funções côncavas, i.e. o conjunto de funções côncavas em um determinado domínio forma uma semifield.3. Perto de um máximo local no interior do domínio de uma função, a função deve ser côncava; como um inverso parcial, se a derivada de uma função estritamente côncava é zero em algum ponto, então esse ponto é um máximo local.4. Qualquer máximo local de uma função côncava é também um máximo global. Uma função estritamente côncava terá no máximo um máximo global.