Veja também: Incenter

IncenterEdit

A distância de Um vértice {\displaystyle a} para a incenter I {\displaystyle I} é:

d ( A , I ) = c sin ⁡ ( B 2 ) cos ⁡ ( C 2 ) = b sin ⁡ ( C 2 ) cos ⁡ ( B 2 ) . {\displaystyle d(A,I)=c{\frac {\sin \left({\frac {B}{2}}\right)}{\cos \left({\frac {C}{2}}\right)}}=b{\frac {\sin \left({\frac {C}{2}}\right)}{\cos \left({\frac {B}{2}}\right)}}., as coordenadas trilineares de um ponto no triângulo são a razão de todas as distâncias para os lados do triângulo. Como o centro é a mesma distância de todos os lados do triângulo, as coordenadas trilinear para o centro são 1 : 1 : 1. {\displaystyle \ 1: 1: 1. as coordenadas baricêntricas de um ponto de um triângulo dão pesos tais que o ponto é a média ponderada das posições dos vértices do triângulo.,Barycentric coordenadas para o incenter é dado por a : b : c {\displaystyle \ a:b:c} pecado ⁡ ( A ) : pecado ⁡ ( B ) : o pecado ⁡ ( C ) {\displaystyle \sin(A):\sin(B):\sin(C)}

onde Uma {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , e C {\displaystyle C} são os ângulos em três vértices.

Cartesiano coordinatesEdit

( a x + b x b + c x c a + b + c , a, y + b y b + c y c a + b + c ) = a ( x a , y a ) + b ( x b , y b ) + c ( x c , y c ) a + b + c ., {\displaystyle \left({\frac {ax_{a}+bx_{b}+cx_{c}}{a+b+c}},{\frac {ay_{a}+by_{b}+cy_{c}}{a+b+c}}\right)={\frac {a\left(x_{a},y_{a}\right)+b\left(x_{b},y_{b}\right)+c\left(x_{c},y_{c}\right)}{a+b+c}}.}

RadiusEdit

r = ( s − a ) ( s − b ) ( s − c), s , {\displaystyle r={\sqrt {\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}},}, onde s = ( a + b + c ) / 2. {\displaystyle s=(A+b+c)/2. veja a fórmula de Heron.,

Distâncias para o verticesEdit

Denota o incenter de △ A B C {\displaystyle \triângulo ABC} como eu {\displaystyle I} , as distâncias entre a incenter para os vértices combinado com os comprimentos de que o triângulo de lados obedecer a equação

I A ⋅ I A C A ⋅ B + A I B ⋅ I B A B ⋅ B C + I C ⋅ I C B C ⋅ C = 1. {\displaystyle {\frac {IA\cdot IA}{CA\cdot AB}}+{\frac {IB\cdot IB}{AB\cdot BC}}+{\frac {CI\cdot IC}{BC\cdot CA}}=1.,}

Além disso,

I A ⋅ B ⋅ I C = 4 R R 2 , {\displaystyle IA\cdot IB\cdot IC=4Rr^{2},}

, onde R {\displaystyle R} e r {\displaystyle r} são do triângulo circum_raio e inradius respectivamente.

outras propertiesEdit

a coleção de centros de triângulo pode ser dada a estrutura de um grupo sob a multiplicação coordenada de coordenadas trilinear; neste grupo, o incenter forma o elemento identidade.,

Incircle e seu raio propertiesEdit

Distâncias entre o vértice e o mais próximo touchpointsEdit

As distâncias a partir de um vértice para os dois pontos de contato mais próximo são iguais; por exemplo:

d ( A , T B ) = d ( A , T, C ) = 1 2 ( b + c − a ) . {\displaystyle d\left(A,T_{B}\right)=d\left(A,T_{C}\right)={\frac {1}{2}}(b+c-a).}

Outros propertiesEdit

r = x y z x + y + z {\displaystyle r={\sqrt {\frac {xyz}{x+y+z}}}}

e a área do triângulo é

Δ = x y z ( x + y + z ) . {\displaystyle \Delta ={\sqrt {xyz (x+y+z)}}.} R = 1 1 h a + 1 h b + 1 H C., {\displaystyle r={\frac {1}{{\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}}}.} r R = a b c 2 ( a + b + c ) . {\displaystyle rR={\frac {abc}{2(a+b+c)}}.}

Some relations among the sides, incircle radius, and circumcircle radius are:

a b + b c + c a = s 2 + ( 4 R + r ) r , a 2 + b 2 + c 2 = 2 s 2 − 2 ( 4 R + r ) r . {\displaystyle {\begin{aligned}ab+bc+ca&=s^{2}+(4R+r)r,\\a^{2}+b^{2}+c^{2}&=2s^{2}-2(4R+r)r.,\end{alinhado}}}

qualquer linha através de um triângulo que divide tanto a área do triângulo como o seu perímetro ao meio passa pelo centro do triângulo (o centro da sua circunferência). Há um, dois ou três destes para qualquer triângulo dado.

Denota o centro da incircle de △ A B C {\displaystyle \triângulo ABC} como eu {\displaystyle I} , temos

I A ⋅ I A C A ⋅ B + A I B ⋅ I B A B ⋅ B C + I C ⋅ I C B C ⋅ C = 1 {\displaystyle {\frac {IA\cdot IA}{CA\cdot AB}}+{\frac {IB\cdot IB}{AB\cdot BC}}+{\frac {CI\cdot IC}{BC\cdot CA}}=1}

e:121,#84

I A ⋅ B ⋅ I C = 4 R R 2 ., {\displaystyle IA \ cdot IB\cdot IC=4Rr^{2}. o raio de circunferência não é maior que um nono da soma das altitudes.:289

O quadrado da distância da incenter I {\displaystyle I} para o circuncentro O {\displaystyle O} é dada por:232

O I 2 = R ( R − 2 r ) {\displaystyle OI^{2}=R(R-2r)} ,

e a distância do incenter para o centro N {\displaystyle N} de nove ponto de círculo é:232

I N = 1 2 ( R − 2 r ) < 1 2 R . {\displaystyle IN={\frac {1}{2}}(R-2r)<{\frac {1}{2}}R., o incentro está no triângulo medial (cujos vértices são os pontos médios dos lados).:233, Lema 1

Relação à área do triangleEdit

Δ = 1 2 ( a + b + c ) r = s r , {\displaystyle \Delta ={\frac {1}{2}}(a+b+c)r=sr,} e r = Δ s , {\displaystyle r={\frac {\Delta }{s},},} Δ = r 2 ( berço ⁡ ( 2 ) + berço ⁡ ( B 2 ) + berço ⁡ ( C 2 ) ) . {\displaystyle \Delta =r^{2}\left(\berço \left({\frac {A}{2}}\right)+\berço \left({\frac {B}{2}}\right)+\berço \left({\frac {C}{2}}\right)\right).,}

j. d. gergonne triângulo e pointEdit

K T = K 2 r 2 s a b c {\displaystyle K_{T}=K{\frac {2^{2}s}{abc}}}

O j. d. gergonne ponto de um triângulo tem um número de propriedades, incluindo o que é o symmedian ponto de j. d. gergonne triângulo.,

Trilinear coordenadas para os vértices do intouch triângulo é dado por

Trilinear coordenadas para o j. d. gergonne ponto é dado por

seg 2 ⁡ ( 2 ) : seg 2 ⁡ ( B 2 ) : s 2 ⁡ ( C 2 ) , {\displaystyle \s ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):\s ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):\s ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right),}

ou, equivalentemente, pela Lei de Sines,

b c b + c − a : c a c + a − b : a b a + b − c . {\displaystyle {\frac {bc}{b+c-a}}:{\frac {ca}{c+a-b}}:{\frac {ab}{a+b-c}}.}