Precalculus

ângulos de referência

o ângulo de referência de um ângulo é a medida do menor, positivo, ângulo agudo t formado pelo lado terminal do ângulo t e pelo eixo horizontal. Assim, os ângulos de referência positivos têm lados terminais que se encontram no primeiro quadrante e podem ser usados como modelos para ângulos em outros quadrantes. Ver Figura 1 para exemplos de ângulos de referência para ângulos em diferentes quadrantes.,

a Figura 1

Usando a Referência de Ângulos

Referência de ângulos tornam possível avaliar funções trigonométricas para ângulos de fora do primeiro quadrante. Eles também podem ser usados para encontrar \esquerda(x,y\direita) Coordenadas para esses ângulos., Usaremos o ângulo de referência do ângulo de rotação combinado com o quadrante no qual o lado terminal do ângulo se encontra. Podemos encontrar o valor exacto de trigonometria de qualquer ângulo em qualquer quadrante se aplicarmos a função trigonometria ao ângulo de referência. O sinal depende do quadrante do ângulo original.

os valores da função trigonométrica para o ângulo original serão os mesmos que os do ângulo de referência, excepto para o sinal positivo ou negativo, que é determinado pelos valores x e y no quadrante original. A figura 3 mostra quais funções são positivas em que quadrante.,

para nos ajudar a lembrar quais das seis funções trigonométricas são positivas em cada quadrante, podemos usar a frase mnemônica “todos os alunos tomam cálculo” cada uma das quatro palavras da frase corresponde a um dos quatro quadrantes, começando com o quadrante I e girando no sentido anti-horário. No quadrante I, que é “A”, todas as seis funções trigonométricas são positivas. No quadrante II, “estudantes”, apenas seno e sua função recíproca, cosecante, são positivos. No quadrante III, “Take”, apenas tangente e sua função recíproca, cotangente, são positivas., Finalmente, no quadrante IV, “cálculo” somente cosseno e sua função recíproca, secante, são positivos.

Figura 3

Chave de Equações

Conceitos-Chave

• O seno e o cosseno de um ângulo têm o mesmo valor absoluto como o seno e o cosseno do seu ângulo de referência.,os sinais do seno e do cosseno são determinados a partir dos valores x e y no quadrante do ângulo original.o ângulo de referência de um ângulo é o ângulo de tamanho, t, formado pelo lado terminal do ângulo t e pelo eixo horizontal.os ângulos de referência podem ser usados para encontrar o seno e o cosseno do ângulo original.
• ângulos de referência também podem ser usados para encontrar as coordenadas de um ponto em um círculo.Secção 4.4 exercícios de lição de casa Discuta a diferença entre um ângulo coterminal e um ângulo de referência.2., Explique como o cosseno de um ângulo no segundo quadrante difere do cosseno de seu ângulo de referência no círculo unitário.3. Explique como o seno de um ângulo no segundo quadrante difere do seno de seu ângulo de referência no círculo unitário.4. Qual é o propósito de um ângulo de referência?

  para os exercícios seguintes, indicar o ângulo de referência para o ângulo dado.5. Circ

  6. Circ

  7. Circ

  8. Circ

  9. Circ

  10. \frac{5\pi }{4}

  11. \frac{2 \ pi }{3}

  12. \frac{17\pi }{6}

  13., – \frac{17\pi }{3}

  14. – \frac{7 \ pi }{4}

  15. – \frac {\pi }{8}

  para os exercícios seguintes, encontre o ângulo de referência, o quadrante do lado terminal, e o seno, cosseno de cada ângulo.16. 225 ^ \ circ

  17. Circ

  18. 315 ^ \ circ

  19. Circ

  20. Circ

  21. Circ

  22. Circ

  23. Circ

  24. \frac{5\pi }{4}

  25. \frac{7 \ pi }{6}

  26. \frac{5\pi }{3}

  27. \frac{3\pi }{4}

  28. \frac{4\pi }{3}

  29. \frac{2 \ pi }{3}

  30. \frac{-19\pi }{6}

  31., \frac{-9\pi }{4}

  para os exercícios seguintes, encontre o ângulo de referência, o quadrante do lado terminal e o valor exato da função trigonométrica.32. \tan \frac{5\pi }{6}

  33. \sec \frac{7\pi }{6}

  34. \csc \frac{11\pi }{6}

  35. \cot \frac{13\pi }{6}

  36. \tan \frac{15\pi }{4}

  37. \sec \frac{3\pi }{4}

  38. \csc \frac{5\pi }{4}

  39. \cot \frac{11\pi }{4}

  40. \tan \left (- \frac{4\pi }{3}\right)

  41. \sec \left (- \frac{2\pi }{3}\right)

  42. \csc \left (- \frac{10\pi }{3}\right)

  43., \cot \left (- \frac{7\pi }{3}\right)

  44. \tan 225^ \ circ

  45. circ

  46. \CSC 510^ \ circ

  47. circ

  48. \tan \esquerda (-30^\circ\direita)

  49. \sec \esquerda (-210^\circ\direita)

  50. \csc \esquerda (-510^\circ\direita)

  51. \cot \left (-405^\circ\right)

  nos exercícios seguintes, use um triângulo direito para encontrar o valor exacto.52. If \text{sin}t=\frac{3}{4}, and t is in quadrant II, find \cos t,\sec t,\csc t,\tan t,\cot T.

  53. If \text{cos}t= – \frac{1}{3}, and t is in quadrant III, find \sin t,\sec t,\csc t,\tan t,\cot T.,54. If \tan t=\frac{12}{5}, and 0\le t<\frac{\pi }{2}, find \sin t,\cos t,\sec t,\csc t, and \cot t.

  55. Se \sin t=\frac{\sqrt{3}}{2} e \cos t=\frac{1}{2}, Encontre \sec t,\csc t,\tan t e \cot T.

  para os exercícios seguintes, encontre o valor exacto usando ângulos de referência.56. \sin\left(\frac{11\pi}{3}\right)\cos\left(\frac{-5\pi}{6}\right)

  57. \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)\cos\left(\frac{5\pi}{3}\right)

  58. \sin\left(\frac{-4\pi}{3}\right)\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)

  59., \sin\left (\frac{-9\pi}{4}\right)\cos\left (\frac {- \pi}{6} \ right)

  60. \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\cos\left(\frac{-\pi}{3}\right)

  61. \sin\left(\frac{7\pi}{4}\right)\cos\left(\frac{-2\pi}{3}\right)

  62. \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right)\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)

  63. \cos\left(\frac{-\pi}{3}\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)

  64. \sin\left (\frac{-5\pi}{4}\right)\sin\left (\frac{11\pi}{6}\right)

  65. \sin\left (\pi\right)\sin\left (\frac {\pi}{6}\right)