surse și conținutul elementelor

Euclid compilat elementele sale dintr-o serie de lucrări de bărbați anterioare. Printre acestea sunt Hipocrate din Chios (înflorit c. 440 î. hr.), a nu se confunda cu medicul Hipocrate din Cos (c. 460-375 î. hr.). Cele mai recente compiler inainte de Euclid a fost Theudius, a cărui carte a fost folosit în cadrul Academiei și a fost, probabil, cel folosit de Aristotel (384-322 î. hr.). Elementele mai vechi au fost imediat înlocuite de Euclid și apoi uitate., Pentru subiectul său Euclid, fără îndoială, a atras asupra tuturor predecesorilor săi, dar este clar că întregul proiect al operei sale a fost al său, culminând cu construcția celor cinci solide regulate, cunoscute acum sub numele de solide platonice.

un scurt studiu al elementelor contrazice o credință comună că se referă doar la geometrie. Această concepție greșită poate fi cauzată de citirea nu mai departe de cărțile I – IV, care acoperă geometria planului elementar., Euclid înțeles că o construcție logică și riguroasă geometrie (și matematică) depinde de fundație—o fundație care Euclid a început în Cartea I, cu 23 de definiții (cum ar fi „un punct este acela care nu are nici o parte” și „o linie este o lungime fără lățime”), cinci coordoneze ipoteze care Euclid numite postulate (acum cunoscut sub numele de axiome), și alte cinci coordoneze ipoteze care el a numit-noțiuni comune. (Vezi tabelul celor 10 ipoteze inițiale ale lui Euclid.) Cartea I dovedește apoi teoreme elementare despre triunghiuri și paralelograme și se termină cu teorema lui Pitagora., (Pentru dovada teoremei lui Euclid, vezi Sidebar: Euclid ‘ s Windmill Proof.obține un abonament Britannica Premium și obține acces la conținut exclusiv. Aboneaza-te Acum

axiomele lui Euclid
1 Dat doua puncte este o linie dreaptă care le unește.
2 un segment de linie dreaptă poate fi prelungit pe termen nelimitat.,
3 un cerc poate fi construit atunci când sunt date un punct pentru centrul său și o distanță pentru raza sa.
4 toate unghiurile drepte sunt egale.dacă o linie dreaptă care se încadrează pe două linii drepte face ca unghiurile interioare de pe aceeași parte să fie mai mici decât două unghiuri drepte, cele două linii drepte, dacă sunt produse la nesfârșit, se întâlnesc pe acea parte pe care unghiurile sunt mai mici decât cele două unghiuri drepte.,
lui Euclid noțiuni comune
6 Lucrurile egale cu același lucru sunt egale.
7 dacă se adaugă egal la egal, întregul este egal.
8 dacă egalii sunt scăzuți din egali, restul sunt egali.
9 lucrurile care coincid între ele sunt egale.
10 întregul este mai mare decât o parte.,

subiectul Cărții a II-a a fost numit geometrice algebra pentru că statele identități algebrice ca teoreme despre echivalent figuri geometrice. Cartea II conține o construcție a „secțiunii”, împărțirea unei linii în două părți, astfel încât raportul dintre segmentul mai mare și cel mai mic este egal cu raportul dintre linia inițială și segmentul mai mare. (Această diviziune a fost redenumită secțiunea de aur în renaștere după ce artiștii și arhitecții i-au redescoperit proporțiile plăcute.,) Cartea a II-a generalizează, de asemenea, teorema lui Pitagora la triunghiuri arbitrare, rezultat echivalent cu legea cosinusurilor (vezi trigonometria plană). Cartea III se ocupă de proprietățile cercurilor și cartea IV cu construcția poligoanelor obișnuite, în special Pentagonul.

Cartea a V-a trece dintr-un plan de geometrie să-și expună o teorie generală de raporturi și proporții care este atribuită de Proclu (împreună cu Cartea XII) să Eudoxus din Cnid (c. 395/390–342/337 î. hr.)., În timp ce cartea V poate fi citită independent de restul elementelor, soluția sa la problema incomensurabilelor (numere iraționale) este esențială pentru cărțile ulterioare. În plus, a constituit fundamentul unei teorii geometrice a numerelor până când o teorie analitică sa dezvoltat la sfârșitul secolului al XIX-lea. Cartea VI aplică această teorie a raporturilor la geometria plană, în principal triunghiuri și paralelograme, culminând cu „aplicarea zonelor”, o procedură de rezolvare a problemelor patratice prin mijloace geometrice.,cărțile VII-IX conțin elemente ale teoriei numerelor, unde numărul (arithmos) înseamnă numere întregi pozitive mai mari de 1. Începând cu 22 de definiții noi—cum ar fi unity, even, odd și prime—aceste cărți dezvoltă diferite proprietăți ale numerelor întregi pozitive. De exemplu, Cartea a VII-a descrie o metodă, antanaresis (acum cunoscut sub numele de algoritmul Euclidian), pentru a găsi cel mai mare divizor comun a două sau mai multe numere; Cartea VIII examinează numere în continuarea proporții, acum cunoscut sub numele de secvențe geometrice (cum ar fi topor, ax2, ax3, ax4…); și Cartea IX dovedește că există un număr infinit de numere prime.,conform lui Proclus, cărțile X și XIII încorporează lucrarea lui Theaetet pitagorean (c. 417-369 î.HR.). Cartea X, care cuprinde aproximativ un sfert din elemente, pare disproporționată față de importanța clasificării sale de linii și zone incomensurabile (deși studiul acestei cărți L-ar inspira pe Johannes Kepler în căutarea unui model cosmologic).cărțile XI-XIII examinează figuri tridimensionale, în stereometria greacă. Cartea XI se referă la intersecțiile planelor, liniilor și paralelipipedelor (solide cu paralelograme paralele ca fețe opuse)., Cartea a XII-a se aplică Eudoxus metoda epuizării pentru a dovedi că zonele de cercuri sunt unul de altul ca pătrate de diametrele lor și că volumele de sfere sunt unul de altul ca cuburi de diametrele lor. Cartea XIII culminează cu construirea celor cinci solide platonice obișnuite (piramidă, cub, octaedru, dodecaedru, icosaedru) într-o anumită sferă, așa cum este afișat în animație.,

solide Platonice

Acestea sunt doar corpuri geometrice ale căror fețe sunt compuse din regulate, poligoane identice. Plasarea cursorului pe fiecare figură îl va arăta în animație.

Encyclopædia Britannica, Inc.

inegalitatile de mai multe cărți și variate niveluri matematice poate da impresia că Euclid a fost, dar un editor de tratate scrise de alți matematicieni., Într-o oarecare măsură, acest lucru este cu siguranță adevărat, deși este probabil imposibil să ne dăm seama care părți sunt ale sale și care au fost adaptări ale predecesorilor săi. Contemporanii lui Euclid au considerat lucrarea sa finală și autoritară; dacă se spunea mai mult, trebuia să fie ca comentarii la elemente.