funcțiile unei singure variabileedit

1. Un derivabila funcția f este (strict) concavă pe un interval dacă și numai dacă derivata funcției f este (strict) monoton descrescătoare pe intervalul, care este o funcție concavă are un non-creșterea (scăderea) panta.

2. Punctele în care schimbările de concavitate (între concave și convexe) sunt puncte de inflexiune.

3. Dacă f este de două ori diferențiabil, atunci f este concav dacă și numai dacă f ” este non-pozitiv (sau, informal, dacă „accelerația” este non-pozitivă)., Dacă al doilea derivat este negativ, atunci este strict concav, dar conversa nu este adevărată, așa cum arată f(x) = −x4.

4. Dacă f este concavă și derivabile, atunci este delimitată anterior de ordinul întâi Taylor aproximare:

f ( y ) ≤ f ( x ) + f ‘( x ) {\displaystyle f(y)\leq f(x)+f'(x)}

5. Un măsurabile Lebesgue funcției pe un interval C este concavă dacă și numai dacă este jumătatea concavă, care este, pentru orice x și y din C

f ( x + y 2 ) ≥ f ( x ) + f ( y ) 2 {\displaystyle f\left({\frac {x+y}{2}}\right)\geq {\frac {f(x)+f(y)}{2}}}

6., Dacă o funcție f este concavă, iar f(0) ≥ 0, atunci f este subadditive pe [ 0 , ∞ ) {\displaystyle [0,\infty )} . Dovada:

f ( a ) + f ( b ) = f ( ( a + b ) a a + b ) + f ( ( a + b ) b, a + b ) ≥ a a + b f ( a + b ) + b a + b f ( a + b ) = f ( a + b ) {\displaystyle f(a)+f(b)=f\left((a+b){\frac {a}{a+b}}\right)+f\left((a+b){\frac {b}{a+b}}\right)\geq {\frac {a}{a+b}}f(a+b)+{\frac {b}{a+b}}f(a+b)=f(a+b)}

Funcții de n variablesEdit

1. O funcție f este concavă față de un set convex dacă și numai dacă funcția −f este o funcție convexă față de set.

2., Suma a două funcții concave este ea însăși concavă și la fel este minimul punctual al două funcții concave, adică setul de funcții concave pe un anumit domeniu formează un semifield.

3. În apropierea unui maxim local din interiorul domeniului unei funcții, Funcția trebuie să fie concavă; ca o conversație parțială, dacă derivata unei funcții strict concave este zero la un moment dat, atunci acel punct este un maxim local.

4. Orice maxim local al unei funcții concave este, de asemenea, un maxim global. O funcție strict concavă va avea cel mult un maxim global.