Vezi de asemenea și: Cercului

IncenterEdit

distanța de la vertex Un {\displaystyle A} a cercului am {\displaystyle I} este:

d ( O , m ) = c sin ⁡ ( B 2 ) cos ⁡ ( C 2 ) = b sin ⁡ ( C 2 ) cos ⁡ ( B 2 ) . {\displaystyle d(O,m)=c{\frac {\sin \left({\frac {B}{2}}\right)}{\cos \left({\frac {C}{2}}\right)}}=b{\frac {\sin \left({\frac {C}{2}}\right)}{\cos \left({\frac {B}{2}}\right)}}.,}

coordonate Trilinearedit

coordonatele trilineare pentru un punct din triunghi sunt raportul dintre toate distanțele și laturile triunghiului. Deoarece incenterul este la aceeași distanță de toate laturile triunghiului, coordonatele trilineare pentru incenter sunt

1: 1: 1. stilul afișajului 1: 1: 1.}

coordonate Baricentriceedit

coordonatele baricentrice pentru un punct dintr-un triunghi dau greutăți astfel încât punctul este media ponderată a pozițiilor vertexului triunghiului.,Barycentric coordonatele cercului sunt date de

a : b : c {\displaystyle \ a:b:c} sin ⁡ ( A ) : sin ⁡ ( B ) : sin ⁡ ( C ) {\displaystyle \sin(A):\sin(B):\sin(C)}

în cazul în care Un {\displaystyle O} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} sunt unghiurile de la trei noduri.

Cartezian coordinatesEdit

( a x a + b x b + c x c a + b + c , y a + b y b + c y c a + b + c ) = o ( x o , y o ) + b ( x b , y b ) + c ( x c , y c ) a + b + c ., {\displaystyle \left({\frac {ax_{a}+bx_{b}+cx_{c}}{a+b+c}},{\frac {ay_{a}+by_{b}+cy_{c}}{a+b+c}}\right)={\frac {o\left(x_{o},y_{o}\right)+b\left(x_{b},y_{b}\dreapta)+c\left(x_{c},y_{c}\right)}{a+b+c}}. în cazul în care s = ( A + b + c) /2, în cazul în care s=(a + b + c), unde s = (a + b + c) / 2. {\displaystyle s=(a+b+c)/2.}

vezi formula lui Heron.,

Distanțele de la verticesEdit

Denotă cercului de △ a B C {\displaystyle \triangle ABC} ca am {\displaystyle I} , distanțele din partea cercului de la nodurile combinate cu lungimile laturilor triunghiului se supună ecuație

I a ⋅ I a C A ⋅ B + B ⋅ I B O B ⋅ B + C ⋅ C B C ⋅ C A = 1. {\displaystyle {\frac {IA \ cdot IA}{CA \ cdot AB}}+{\frac {IB\cdot IB}{AB \ cdot BC}}+{\frac {IC\cdot IC} {BC \ cdot ca}}=1.,}

de Asemenea,

I a ⋅ I B ⋅ C = 4 R r 2 , {\displaystyle IA\cdot IB\cdot IC=4Rr^{2},}

în cazul în care R {\displaystyle R} r {\displaystyle r} sunt triunghiului este circumscrisa și inradius respectiv.

Alte propertiesEdit

colectia de triunghi centre poate fi dat de structura unui grup, sub coordonarea înțelept multiplicarea triliniar coordonate; în acest grup, cercului constituie element de identitate.,distanțele dintre vertex și cele mai apropiate puncte de contact sunt egale; de exemplu:

d ( A , T B ) = d ( A , T C ) = 1 2 ( b + c − a ) . {\displaystyle d\left(O,T_{B}\right)=d\left(O,T_{C}\right)={\frac {1}{2}}(b+c-a).}

Alte propertiesEdit

r = x y z x + y + z {\displaystyle r={\sqrt {\frac {xyz}{x+y+z}}}}

și aria triunghiului este

Δ = x y z ( x + y + z ) . {\displaystyle \Delta ={\sqrt {xyz(x+y+z)}}.} r = 1 1 h a + 1 H b + 1 h c ., {\displaystyle r={\frac {1}{{\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}}}.} r R = a b c 2 ( a + b + c ) . {\displaystyle rR={\frac {abc}{2(a+b+c)}}.}

Some relations among the sides, incircle radius, and circumcircle radius are:

a b + b c + c a = s 2 + ( 4 R + r ) r , a 2 + b 2 + c 2 = 2 s 2 − 2 ( 4 R + r ) r . {\displaystyle {\begin{aligned}ab+bc+ca&=s^{2}+(4R+r)r,\\a^{2}+b^{2}+c^{2}&=2s^{2}-2(4R+r)r.,\end{aliniat}}}

Orice linie printr-un triunghi care desparte atât aria triunghiului și perimetrul său în jumătate trece prin triunghiul cercului (centrul de incircle). Există una, două sau trei dintre acestea pentru orice triunghi dat.

Denotă centrul de incircle a △ B, C, {\displaystyle \triangle ABC} ca am {\displaystyle I} , avem

I a ⋅ I a C A ⋅ B + B ⋅ I B O B ⋅ B + C ⋅ C B C ⋅ C A = 1 {\displaystyle {\frac {IA\cdot IA}{AC\cdot AB}}+{\frac {IB\cdot IB}{AB\cdot BC}}+{\frac {IC\cdot IC}{BC\cdot CA}}=1}

și:121,#84

I a ⋅ I B ⋅ C = 4 R r 2 ., {\displaystyle IA \ cdot IB\cdot IC = 4RR^{2}.}

raza incircle nu este mai mare de o nouă sumă a altitudinilor.:289

pătrat distanța de la care am cercului {\displaystyle I} a centrul cercului circumscris O {\displaystyle O} este dat de:232

z I 2 = R ( R − 2 r ) {\displaystyle OI^{2}=R(R-2r)} ,

iar distanța de la cercului cu centrul N {\displaystyle N} din punct de nouă cerc este:232

m-N = 1 2 ( R − 2 r ) < 1 2 R . {\displaystyle ÎN={\frac {1}{2}}(R-2r)<{\frac {1}{2}}R.,}

incenterul se află în triunghiul medial (ale cărui vârfuri sunt punctele medii ale laturilor).:233, Lema 1

ceea ce privește zona de triangleEdit

Δ = 1 2 ( a + b + c ) r = s r , {\displaystyle \Delta ={\frac {1}{2}}(a+b+c)r=sr,} si r = Δ s , {\displaystyle r={\frac {\Delta }{s}},} Δ = r 2 ( pătuț ⁡ ( 2 ) + patut ⁡ ( B 2 ) + patut ⁡ ( C 2 ) ) . {\displaystyle \Delta =r^{2}\left(\pat \left({\frac {A}{2}}\right)+\pat \left({\frac {B}{2}}\right)+\pat \left({\frac {C}{2}}\right)\dreapta).,}

Gergonne triunghi și pointEdit

K T = K 2 r 2 s a b c {\displaystyle K_{T}=K{\frac {2r^{2}s}{abc}}}

Gergonne punct de un triunghi are un număr de proprietăți, inclusiv că este symmedian punct de Gergonne triunghi.,

Triliniar coordonatele nodurilor de intouch triunghi sunt date de

Triliniar coordonatele pentru Gergonne punct sunt date de

sec 2 ⁡ ( 2 ) : sec 2 ⁡ ( B 2 ) : sec 2 ⁡ ( C 2 ) , {\displaystyle \sec ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):\sec ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):\sec ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right),}

sau, echivalent, prin Legea din Sines,

b c b + c − a : c o c + a − b : a b a + b − c . {\displaystyle {\frac {bc}{b+c-a}}:{\frac {ac}{c+a-b}}:{\frac {ab}{a+b-c}}.}