într-o singură dimensiune, starea de bază a ecuației Schrödinger se poate dovedi a nu avea noduri.

Derivareedit

luați în considerare energia medie a unei stări cu un nod la x = 0; adică, ψ(0) = 0. Energia medie în acest stat ar fi

⟨ ψ | H | ψ ⟩ = ∫ d x ( − ℏ 2 2 m ψ ∗ d 2 ψ d x 2 + V ( x ) | ψ ( x ) | 2 ) , {\displaystyle \langle \psi |H|\psi \rangle =\int dx\,\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\psi ^{*}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)|\psi (x)|^{2}\right),}

în cazul în care V(x) este potențialul.,

Presupunând că ψ ( x ) ≈ − c x {\displaystyle \psi (x)\cca -cx} jurul valorii x = 0 {\displaystyle x=0} , se poate scrie

ψ ‘ ( x ) = N { | ψ ( x ) | , | x | > ϵ , c ϵ , | x | ≤ ϵ , {\displaystyle \psi ‘(x)=N{\begin{cazuri}|\psi (x)|,&|x|>\epsilon ,\\c\epsilon ,&|x|\leq \epsilon ,\end{cazuri}}}

de unde N = 1 1 + 4 3 | c | 2 ϵ 3 {\displaystyle N={\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {4}{3}}|c|^{2}\epsilon ^{3}}}}} este norma.,

Pe de altă parte, în intervalul x ∈ {\displaystyle x\în } avem

V avg ϵ ‘= ∫ − ϵ ϵ d x V ( x ) | ψ ‘ | 2 = ϵ 2 | c| 2 1 + 4 3 | c | 2 ϵ 3 ∫ − ϵ ϵ d x V ( x ) ≃ 2 ϵ 3 | c | 2 V ( 0 ) + ⋯ , {\displaystyle {V_{\text{avg}}^{\epsilon }}’=\int _{-\epsilon }^{\epsilon }dx\,V(x)|\psi ‘|^{2}={\frac {\epsilon ^{2}|c|^{2}}{1+{\frac {4}{3}}|c|^{2}\epsilon ^{3}}}\int _{-\epsilon }^{\epsilon }dx\,V(x)\simeq 2\epsilon ^{3}|c|^{2}V(0)+\cdots ,}

care deține la comanda ϵ 3 {\displaystyle \epsilon ^{3}} .,

cu toate Acestea, contribuția pentru potențialul de energie din această regiune pentru stat ψ cu un nod este

V avg ϵ = ∫ − ϵ ϵ d x V ( x ) | ψ | 2 = | c | 2 ∫ − ϵ ϵ d x x 2 V ( x ) ≃ 2 3 ϵ 3 | c | 2 V ( 0 ) + ⋯ , {\displaystyle V_{\text{avg}}^{\epsilon }=\int _{-\epsilon }^{\epsilon }dx\,V(x)|\psi |^{2}=|c|^{2}\int _{-\epsilon }^{\epsilon }dx\,x^{2}V(x)\simeq {\frac {2}{3}}\epsilon ^{3}|c|^{2}V(0)+\cdots ,}

prin urmare, putem elimina toate nodurile și de a reduce energia de O ( ϵ ) {\displaystyle O(\epsilon )} , ceea ce implică faptul că ψ’ nu poate fi teren de stat., Astfel, funcția de undă de la sol nu poate avea un nod. Aceasta completează dovada. (Energia medie poate fi apoi redusă în continuare prin eliminarea ondulațiilor, până la minimul absolut variațional.)

ImplicationEdit

Ca sol de stat nu are noduri este spațial non-degenerat, adică nu există două staționare, stări cuantice cu energie eigenvalue a stat la sol (sa-i numele l E g {\displaystyle E_{g}} ) și același spin de stat și, prin urmare, ar diferă numai în poziția lor-spațiul funcțiilor de undă., | ψ 1 ( x 0 , 0 ) | 2 + | ψ 2 ( x 0 , 0 ) | 2 > 0 {\displaystyle a={\sqrt {|\psi _{1}(x_{0},0)|^{2}+|\psi _{2}(x_{0},0)|^{2}}}>0\,} (conform premisa nr noduri)

Rețineți că pământul de stat ar putea fi degenerat din cauza diferite stari de spin ca | ⟩ {\displaystyle \left|\uparrow \corect\rangle } și | ↓ ⟩ {\displaystyle \left|\downarrow \corect\rangle } în timp ce aceeași poziție-spațiu de funcția de undă: Orice suprapunere a acestor state ar crea un amestec de spin stat dar lasă spațiale parte (ca un factor comun de ambele) nemodificat.,