numere imaginare întotdeauna ma confundat. Ca și înțelegerea e, majoritatea explicațiilor au căzut într-una din cele două categorii:
- este o abstracție Matematică, iar ecuațiile funcționează. Descurcă-te.
- este folosit în fizica avansată, încredere în noi. Așteaptă până la facultate.
Gee, ce o modalitate foarte bună de a încuraja matematica la copii! Astăzi vom ataca acest subiect cu instrumentele noastre preferate:
- concentrându-ne pe relații, nu pe formule mecanice.,
- văzând numere complexe ca un upgrade la sistemul nostru de numere, la fel ca zero, zecimale și negative au fost.
- folosind diagrame vizuale, nu doar text, pentru a înțelege ideea.și arma noastră secretă: învățarea prin analogie. Vom aborda numerele imaginare observându-i strămoșul, negativele. Iată ghidul dvs.:
nu are sens încă, dar rezistă acolo. Până la sfârșitul anului vom vâna în jos i și pune-l într-un cap, în loc de invers.,
Video Walkthrough:
înțelegerea cu adevărat a numerelor Negative
numerele Negative nu sunt ușoare. Imaginați – vă că sunteți un matematician European în anii 1700. aveți 3 și 4 și știți că puteți scrie 4-3 = 1. Simplu.
dar ce zici de 3-4? Ce, mai exact, înseamnă asta? Cum poți lua 4 vaci de la 3? Cum ai putut avea mai puțin decât nimic?negativele au fost considerate absurde, ceva care „a întunecat doctrinele întregi ale ecuațiilor” (Francis Maseres, 1759). Cu toate acestea, astăzi, ar fi absurd să credem că negativele nu sunt logice sau utile., Încercați să întrebați profesorul dvs. dacă negativele corupe chiar fundamentele matematicii.
ce s-a întâmplat? Am inventat un număr teoretic care avea proprietăți utile. Negativele nu sunt ceva ce putem atinge sau ține, dar descriu bine anumite relații (cum ar fi datoria). A fost o ficțiune utilă.mai degrabă decât să spun „îți datorez 30” și să citesc cuvinte pentru a vedea dacă sunt în sus sau în jos, pot scrie „-30” și știu că înseamnă că sunt în gaură. Dacă câștig bani și îmi plătesc datoriile (-30 + 100 = 70), pot înregistra tranzacția cu ușurință. Am +70 după aceea, ceea ce înseamnă că sunt în clar.,semnele pozitive și negative urmăresc automat direcția — nu aveți nevoie de o propoziție pentru a descrie impactul fiecărei tranzacții. Matematica a devenit mai ușoară, mai elegantă. Nu conta dacă negativele erau „tangibile” – aveau proprietăți utile și le-am folosit până când au devenit obiecte de zi cu zi. Astăzi ai numi pe cineva nume obscene dacă nu ar „primi” negative.dar să nu fim îngâmfați în legătură cu lupta: numerele negative au fost o schimbare mentală uriașă. Chiar și Euler, geniul care a descoperit e și multe altele, nu a înțeles negativele așa cum o facem astăzi., Acestea au fost considerate rezultate „lipsite de sens” (el a făcut mai târziu acest lucru în stil).este o dovadă a potențialului nostru mental că copiii de astăzi sunt așteptați să înțeleagă idei care odată confundau matematicienii antici.
introduceți numere imaginare
numerele imaginare au o poveste similară. Putem rezolva ecuații ca aceasta toată ziua:
răspunsurile sunt 3 și -3. Dar să presupunem că unele wiseguy pune într-un semn teensy, minuscul minus:
Uh oh. Această întrebare face ca majoritatea oamenilor piti prima dată când o văd., Vrei rădăcina pătrată a unui număr mai mic de zero? E absurd! (Istoric, au existat întrebări reale de răspuns, dar îmi place să-mi imaginez un înțelept.)
pare o nebunie, la fel ca negativele, zero și iraționalele (numerele care nu se repetă) trebuie să fi părut nebunești la început. Nu există nici un sens” real ” la această întrebare, nu?
greșit. Așa-numitele „numere imaginare” sunt la fel de normale ca orice alt număr (sau la fel de fals): sunt un instrument pentru a descrie lumea. În același spirit de asumare -1,.,3 și 0 „există”, Să presupunem că există un număr i unde:
asta înseamnă că înmulțiți i de la sine pentru a obține -1. Ce se întâmplă acum?ei bine, mai întâi avem o durere de cap. Dar jocul „să ne prefacem că există” face de fapt matematica mai ușoară și mai elegantă. Apar noi relații pe care le putem descrie cu ușurință.
s-ar putea să nu credeți în mine, la fel cum acei matematicieni bătrâni nu au crezut în -1. Conceptele noi, care răsucesc creierul, sunt grele și nu au sens imediat, chiar și pentru Euler., Dar, așa cum ne-au arătat negativele, conceptele ciudate pot fi încă utile.
nu — mi place termenul „număr imaginar” – a fost considerat o insultă, o insultă, menită să rănească sentimentele lui I. Numărul i este la fel de normal ca și alte numere, dar numele „imaginar” s-a blocat, așa că îl vom folosi.după cum am văzut ultima dată, ecuația $x^2 = 9$ înseamnă cu adevărat:
sau
ce transformare x, atunci când este aplicată de două ori, transformă 1 la 9?,cele două răspunsuri sunt „x = 3” și „x = -3”: adică puteți „scala cu” 3 sau „scala cu 3 și flip” (răsturnarea sau luarea opusului este o interpretare a înmulțirii cu un negativ).acum să ne gândim la $x^2 = -1$, care este într-adevăr
ce transformare x, atunci când este aplicată de două ori, transformă 1 În -1? MRU.,
- Nu putem multiplica cu un pozitiv de două ori, deoarece rezultatul rămâne pozitiv
- Nu putem multiplica cu un negativ de două ori, deoarece rezultatul va reveni la pozitiv la a doua înmulțire
dar ce zici de… o rotație! Sună nebunesc, dar dacă ne imaginăm că x este o „rotație de 90 de grade”, atunci aplicarea x de două ori va fi o rotație de 180 de grade sau un flip de la 1 la -1!
Yowza! Și dacă ne gândim mai mult, am putea roti de două ori în cealaltă direcție (în sensul acelor de ceasornic) pentru a transforma 1 În -1., Aceasta este rotația” negativă”sau o înmulțire cu-i:
dacă înmulțim cu-i de două ori, prima înmulțire ar transforma 1 în-i, iar a doua transformă-i în -1. Deci, există într-adevăr două rădăcini pătrate de -1: i și-i.
acest lucru este destul de cool. Avem un fel de răspuns, dar ce înseamnă?,
- nu este un „nou imaginar dimensiune” pentru a măsura un număr
- i (sau -nu) este ceea ce numere de „a deveni”, atunci când rotit
- Inmultirea nu este o rotație de 90 de grade în sens antiorar
- Inmultirea prin -nu este o rotație de 90 de grade în sensul acelor de ceasornic
- Două rotații în fiecare direcție este -1: aceasta ne aduce înapoi în „regulat” dimensiuni de numere pozitive și negative.numerele sunt 2-dimensionale. Da, este mintea îndoire, la fel ca zecimale sau diviziune lung ar fi mintea-îndoire la un Roman antic. (Ce vrei să spui că există un număr între 1 și 2?)., Este un mod ciudat, nou să se gândească la matematică.
am întrebat ” cum transformăm 1 În -1 în doi pași?”și a găsit un răspuns: rotiți-l cu 90 de grade. Este un mod ciudat, nou să se gândească la matematică. Dar este util. (Apropo, această interpretare geometrică a numerelor complexe nu a ajuns decât la zeci de ani după ce am fost descoperit).de asemenea, rețineți că a fi pozitiv în sens invers acelor de ceasornic este o convenție umană-ar fi putut fi ușor invers.
găsirea modelelor
să ne scufundăm puțin în detalii., Când înmulțiți numere negative (cum ar fi -1), obțineți un model:
- 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1
deoarece -1 nu modifică dimensiunea unui număr, doar semnul, vă întoarceți înainte și înapoi. Pentru un număr „x”, veți obține:
- x,- x, x,- x, x, – x…
această idee este utilă. Numărul ” x ” poate reprezenta o săptămână bună sau rea a părului. Să presupunem că săptămânile alternează între bine și rău; aceasta este o săptămână bună; cum va fi peste 47 de săptămâni?
So-x înseamnă o săptămână de păr rău., Observați cum numerele negative „urmăriți semnul”: putem arunca $(-1)^{47}$ într-un calculator fără a fi nevoie să numărați („Săptămâna 1 este bună, săptămâna 2 este rea… săptămâna 3 este bună…”). Lucrurile care se învârt înainte și înapoi pot fi modelate bine cu numere negative.
Ok. Ce se întâmplă dacă continuăm să înmulțim cu $ i$?
foarte amuzant. Să reducem acest lucru un pic:
reprezentat vizual:
ciclăm la fiecare a 4-a rotație. Acest lucru are sens, nu? Orice copil vă poate spune că 4 viraje stânga este la fel ca nici un viraj la toate., Acum, mai degrabă decât concentrându-se pe numere imaginare ($i$, $i^2$), uita-te la modelul general:
- X, Y, -X, -Y, X, Y, -X, -Y…
Ca numere negative modelare flipping, numere imaginare pot modela ceva care se rotește între două dimensiuni „X” și „Y”. Sau ceva cu o relație ciclică, circulară-ai ceva în minte?
Pentru că ar fi păcat dacă nu ai face-o. vor fi mai multe în articolele viitoare.
înțelegerea numerelor complexe
există un alt detaliu de acoperit: poate un număr să fie atât „real”, cât și „imaginar”?
pariezi., Cine spune că trebuie să rotim toate cele 90 de grade? Dacă păstrăm 1 picior în dimensiunea „reală”și altul în cea imaginară, arată astfel:
suntem la un unghi de 45 de grade, cu părți egale în real și imaginar (1 + i). Este ca un hotdog cu muștar și ketchup — cine spune că trebuie să alegi?de fapt, putem alege orice combinație de numere reale și imaginare și să facem un triunghi. Unghiul devine „unghiul de rotație”. Un număr complex este numele fantezist pentru numere cu părți reale și imaginare., Sunt scrise a + bi, unde
- a este partea reală
- b este partea imaginară
nu prea rău. Dar există o ultimă întrebare: cât de” mare ” este un număr complex? Nu putem măsura partea reală sau părțile imaginare în mod izolat, pentru că ar lipsi imaginea de ansamblu.
să facem un pas înapoi. Dimensiunea unui număr negativ nu este dacă îl puteți număra — este Distanța de la zero. În cazul negativelor, acesta este:
care este un alt mod de a găsi valoarea absolută., Dar pentru numere complexe, cum măsurăm două componente la unghiuri de 90 de grade?
este o pasăre… este un avion … este Pitagora!Doamne, teorema lui apare peste tot, chiar și în numere inventate la 2000 de ani după timpul său. Da, Facem un triunghi de soiuri, iar hypotenuse este Distanța de la zero:
Neat. În timp ce măsurarea dimensiunii nu este la fel de ușoară ca „scăderea semnului negativ”, numerele complexe au utilizările lor. Să aruncăm o privire.,
un exemplu Real: rotații
nu vom aștepta până când fizica colegiului va folosi numere imaginare. Să le încercăm astăzi. Sunt mult mai multe de spus despre multiplicarea complexă, dar țineți minte acest lucru:
- înmulțirea cu un număr complex se rotește prin unghiul său
Să aruncăm o privire. Să presupunem că sunt pe o barcă, cu o direcție de 3 unități spre est pentru fiecare 4 unități spre nord. Vreau să-mi schimb direcția cu 45 de grade în sens invers acelor de ceasornic. Care e noua rubrică?
unele hotshot va spune „asta e simplu!, Luați doar sinusul, cosinusul, gobbledegook – ul de tangentă… fluxsom foobar… și…”. Crack. Scuze, ți-am stricat calculatorul? Vrei să răspunzi din nou la întrebare?
să încercăm o abordare mai simplă: suntem pe o poziție de 3 + 4i (oricare ar fi acel unghi; nu ne pasă cu adevărat) și vrem să ne rotim cu 45 de grade. Ei bine, 45 de grade este 1 + i (diagonala perfectă), astfel încât să putem multiplica cu această sumă!,
Aici e ideea:
Dacă vom multiplica-le împreună vom obține:
noul nostru orientare este de 1 unitate de Vest (-1 Est), și 7 unități de Nord, care le-ar putea trage afară și să urmeze.
dar yowza! Am aflat asta în 10 secunde, fără să atingem sinusul sau cosinusul. Nu au existat vectori, matrice sau urmărirea în ce cadran ne aflăm. A fost doar aritmetică cu o atingere de algebră pentru a se multiplica încrucișat. Numerele imaginare au regulile de rotație coapte în: Funcționează doar.
nu, l-ai converti în cosinus și sinus ( -.,14 și .99), găsiți un raport rezonabil între ele (aproximativ 1 până la 7) și schițați triunghiul. Numerele complexe te bate la ea, instantaneu, cu precizie, și fără un calculator.
dacă sunteți ca mine, veți găsi această utilizare minte-suflare. Și dacă nu, Ei bine, mi-e teamă matematica nu claxona cornul. Scuze.trigonometria este mare, dar numerele complexe pot face calcule urâte simple (cum ar fi calcularea cosinusului(a+b) ). Aceasta este doar o previzualizare; articolele ulterioare vă vor oferi masa completă.,
deoparte: unii oameni cred că ” Hei, nu este util să ai rubrici Nord / Est în loc de un unghi de grad de urmat!”
într-adevăr? Bine, uită-te la mâna dreaptă. Care este unghiul de la partea de jos a pinky la partea de sus a degetului arătător? Mult noroc imaginind că pe cont propriu.
cu o rubrică, puteți spune cel puțin” Oh, este X inci peste și Y inci în sus ” și aveți șanse să lucrați cu acel rulment.
numerele complexe nu sunt
acesta a fost un tur al perspectivelor mele de bază. Aruncați o privire la prima diagramă-ar trebui să aibă sens acum.,
există atât de mult mai mult la aceste numere frumoase, caraghioase, dar creierul meu este obosit. Obiectivele mele au fost simple:
- vă conving că numerele complexe au fost considerate „nebune”, dar pot fi utile (la fel ca numerele negative)
- arătați cum numerele complexe pot face anumite probleme mai ușoare, cum ar fi rotațiile
dacă par fierbinte și deranjat de acest subiect, există un motiv. Numerele imaginare au fost o albină în capota mea de ani de zile-lipsa unei înțelegeri intuitive ma frustrat.
acum că am avut în sfârșit perspective, izbucnesc să le împărtășesc., Dar mă frustrează că citești asta pe blogul unui nebun cu ochi sălbatici, și nu într-o clasă. Ne sufocăm întrebările și „trecem prin” – pentru că nu căutăm și nu împărtășim perspective curate și intuitive. Egad.dar mai bine să aprinzi o lumânare decât să blestemi întunericul: iată gândurile mele și unul dintre voi va străluci un reflector. Gândindu-ne că am „dat seama” un subiect precum numerele este ceea ce ne ține în țara Numerală romană.există numere mult mai complexe: consultați detaliile aritmeticii complexe. Matematica fericit.
Epilog: dar sunt încă ciudate!,
știu, sunt încă ciudate și pentru mine. Încerc să mă pun în mintea primei persoane care descoperă zero.
Zero este o idee atât de ciudată, având „ceva” care nu reprezintă „nimic” și i-a ocolit pe romani. Numerele complexe sunt similare-este un nou mod de gândire. Dar atât numerele zero, cât și cele complexe fac matematica mult mai ușoară. Dacă n-am fi adoptat sisteme de numere noi și ciudate, tot ne-am baza pe degete.repet această analogie pentru că este atât de ușor să începi să gândești că numerele complexe nu sunt „normale”., Hai să ne păstrăm mintea deschisă: în viitor vor chicotit că numerele complexe au fost o dată încredere, chiar și până la anul 2000 e.
Dacă doriți mai nitty-curajos, a verifica afară de wikipedia, Dr. Matematica discuție, sau un alt argument pe ce numere imaginare există.,
Alte Posturi În Această Serie
- Un Vizuală, Intuitivă Ghid pentru Numere Imaginare
- Intuitivă Aritmetice Cu Numere Complexe
- Înțelegerea de Ce Complex de Multiplicare Funcționează
- Intuitivă Ghid pentru Unghiuri, Grade și Radiani
- Intelegerea Intuitiva A relatiei lui Euler
- Un Ghid Interactiv Pentru transformata Fourier
- Intuitivă Ghid pentru Convoluție
- Înțelegerea Intuitivă de Valuri de Sine
- O interfață Intuitivă Ghid pentru Algebra Liniară
- Un Programator Intuiția pentru Multiplicare Matrice
- Imaginar Multiplicare vs, Exponenți imaginari
Lasă un răspuns