Los números imaginarios siempre me confundieron. Al igual que entender e, la mayoría de las explicaciones caen en una de dos categorías:
- Es una abstracción matemática, y las ecuaciones funcionan. Acéptalo.
- Se usa en física avanzada, confía en nosotros. Espera a la Universidad.
¡Vaya, qué gran manera de fomentar las matemáticas en los niños! Hoy atacaremos este tema con nuestras herramientas favoritas:
- centrándose en las relaciones, no en las fórmulas mecánicas.,
- ver los números complejos como una actualización a nuestro sistema numérico, al igual que cero, decimales y negativos.
- usar diagramas visuales, no solo texto, para entender la idea.
y nuestra arma secreta: aprender por analogía. Nos acercaremos a los números imaginarios observando su antepasado, los negativos. Aquí está tu guía:
no tiene sentido, pero paciencia. Al final me cazaremos y lo pondremos en una llave de cabeza, en lugar de al revés.,
tutorial de Video:
entender realmente los números negativos
los números negativos no son fáciles. Imagina que eres un matemático europeo en el 1700. tienes 3 y 4, y sabes que puedes escribir 4 – 3 = 1. Simple.
Pero ¿qué pasa con 3-4? ¿Qué significa eso exactamente? ¿Cómo puedes tomar 4 vacas de 3? ¿Cómo pudiste tener menos que nada?
los negativos eran considerados absurdos, algo que «oscureció toda la doctrina de las ecuaciones» (Francis Maseres, 1759). Sin embargo, hoy en día, sería absurdo pensar que los negativos no son lógicos o útiles., Intenta preguntarle a tu profesor si los negativos corrompen los fundamentos de las matemáticas.
¿Qué pasó? Inventamos un número teórico que tenía propiedades útiles. Los negativos no son algo que podamos tocar o sostener, pero describen bien ciertas relaciones (como la deuda). Era una ficción útil.
en lugar de decir «Te debo 30» y leer palabras para ver si estoy arriba o abajo, puedo escribir «-30» y saber que significa que estoy en el agujero. Si gano dinero y pago mis deudas (-30 + 100 = 70), puedo registrar la transacción fácilmente. Tengo +70 después, lo que significa que estoy limpio.,
los signos positivos y negativos registran automáticamente la dirección — no necesita una oración para describir el impacto de cada transacción. Las matemáticas se hicieron más fáciles, más elegantes. No importaba si los negativos eran «tangibles», tenían propiedades útiles y los usamos hasta que se convirtieron en artículos cotidianos. Hoy llamarías a alguien con nombres obscenos si no «recibiera» negativos.
pero no seamos petulantes con la lucha: los números negativos fueron un gran cambio mental. Incluso Euler, el genio que descubrió e y mucho más, no entendía los negativos como lo hacemos hoy., Se consideraron resultados «sin sentido» (más tarde compensó esto con estilo).
es un testimonio de nuestro potencial mental que se espera que los niños de hoy entiendan ideas que una vez confundieron a los antiguos matemáticos.
introduzca números imaginarios
Los números imaginarios tienen una historia similar. Podemos resolver ecuaciones como esta todo el día:
Las respuestas son 3 y -3. Pero supongamos que algún sabelotodo pone un diminuto signo menos:
Uh oh. Esta pregunta hace que la mayoría de las personas se estremezcan la primera vez que la VEN., ¿Quieres la raíz cuadrada de un número menor que cero? Eso es absurdo! (Históricamente, había preguntas reales para responder, pero me gusta imaginar a un mafioso.)
parece una locura, al igual que los negativos, cero e irracionales (números que no se repiten) deben haber parecido una locura al principio. Esta pregunta no tiene un significado» real», ¿verdad?
incorrecto. Los llamados «números imaginarios» son tan normales como cualquier otro número (o simplemente tan falsos): son una herramienta para describir el mundo. En el mismo espíritu de asumir -1, .,3, y 0 «exist», supongamos que existe algún número i donde:
es decir, multiplicas I por sí mismo para obtener -1. ¿Qué pasa ahora?
bueno, primero tenemos dolor de cabeza. Pero jugar el juego» pretendamos que existo » hace que las matemáticas sean más fáciles y elegantes. Surgen nuevas relaciones que podemos describir con facilidad.
Usted no puede creer en i, al igual que esos viejos matemáticos fuddy no creían en -1. Los conceptos nuevos y retorcidos son difíciles y no tienen sentido de inmediato, incluso para Euler., Pero como los negativos nos mostraron, conceptos extraños todavía pueden ser útiles.
no me gusta el término «número imaginario» – fue considerado un insulto, un insulto, diseñado para herir los sentimientos de I. El número I es tan normal como otros números, pero el nombre «imaginario» se quedó así que lo usaremos.
comprensión Visual de los números negativos y complejos
Como vimos la última vez, la ecuación x x^2 = 9 really realmente significa:
o
Qué transformación x, cuando se aplica dos veces, ¿a las 9?,
las dos respuestas son «x = 3 «y» x = -3″: es decir, puedes «escalar por» 3 o «escalar por 3 y voltear» (voltear o tomar lo contrario es una interpretación de multiplicar por un negativo).
ahora pensemos en $x^2= -1?, que es realmente
¿Qué transformación x, cuando se aplica dos veces, convierte 1 en -1? Hrm.,
- no podemos multiplicar por un positivo dos veces, porque el resultado se mantiene positivo
- no podemos multiplicar por un negativo dos veces, porque el resultado volverá a ser positivo en la segunda multiplicación
pero ¿qué hay de rotation una rotación! Parece una locura, pero si imaginamos que x es una «rotación de 90 grados», entonces aplicar x dos veces será una rotación de 180 grados, o un giro de 1 a -1!
Yowza! Y si lo pensamos más, podríamos girar dos veces en la otra dirección (en el sentido de las agujas del reloj) para convertir 1 en -1., Esta es una rotación «negativa»o una multiplicación por-i:
si multiplicamos por-i dos veces, la primera multiplicación convertiría 1 en-i, y la segunda convierte-i en -1. Así que hay realmente dos raíces cuadradas de -1: i y-i.
esto es bastante genial. Tenemos algún tipo de respuesta, pero, ¿qué significa?,
- i es una «nueva dimensión imaginaria» para medir un número
- i (O-I) es lo que los números «se convierten» cuando se rotan
- multiplicar i es una rotación de 90 grados en sentido antihorario
- multiplicar por-I es una rotación de 90 grados en sentido horario
- dos rotaciones en cualquier dirección es -1: nos lleva de nuevo a las dimensiones «regulares» de los números positivos y negativos.
Los números son de 2 dimensiones. Sí, es alucinante, al igual que los decimales o la división larga sería alucinante para un antiguo romano. (¿ Qué quieres decir con que hay un número entre 1 y 2?)., Es una extraña y nueva forma de pensar en matemáticas.
preguntamos «¿cómo convertimos 1 en -1 en dos pasos?»y encontré una respuesta: gírela 90 grados. Es una extraña y nueva forma de pensar en matemáticas. Pero es útil. (Por cierto, esta interpretación geométrica de números complejos no llegó hasta décadas después de que me descubrieran).
también, tenga en cuenta que tener en sentido contrario a las agujas del reloj ser positivo es una convención humana-fácilmente podría haber sido al revés.
encontrar patrones
vamos a sumergirnos en los detalles un poco., Cuando la multiplicación de números negativos (como -1), se obtiene un patrón:
- 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1
Ya que -1 no cambia el tamaño de un número, sólo el signo, voltear hacia atrás y adelante. Para un número «x», se obtendría:
- x, x, x, x, x, x…
Esta idea es útil. El número » x » puede representar una semana de cabello bueno o malo. Supongamos que las semanas se alternan entre lo bueno y lo malo; esta es una buena semana; ¿cómo será en 47 semanas?
So-x significa una semana de pelo malo., Observe cómo los números negativos «llevan un registro del signo»: podemos lanzar $(-1)^{47} into en una calculadora sin tener que contar («la semana 1 es buena, la semana 2 es mala week la semana 3 es buena.»). Las cosas que giran hacia adelante y hacia atrás se pueden modelar bien con números negativos.
Ok. Ahora, ¿qué pasa si seguimos multiplicando por i Yo??
Muy divertido. Vamos a reducir un poco:
se representan visualmente:
Nosotros ciclo cada 4 de rotación. Esto tiene sentido, ¿verdad? Cualquier niño puede decirle que 4 giros a la izquierda es lo mismo que ningún giro en absoluto., Ahora, en lugar de centrarse en los números imaginarios (i i^, ^ i ^ 2^), Mira el patrón general:
- X, Y,- X,- Y, X, Y,- X,- Y
Al igual que los números negativos que modelan volteando, los números imaginarios pueden modelar cualquier cosa que gire entre dos dimensiones «X» E «y». O algo con una relación cíclica, circular – ¿tienes algo en mente?
‘ Cos it’d be a sin if you didn’t. There’ll De Moivre be more in future articles.
entendiendo los números complejos
hay otro detalle que cubrir: ¿Puede un número ser tanto «real» como «imaginario»?
Usted apuesta., ¿Quién dice que tenemos que rotar los 90 grados? Si mantenemos 1 pie en la dimensión «real» y otro en la imaginaria, se verá así:
estamos en un ángulo de 45 grados, con partes iguales en lo real y lo imaginario (1 + i). Es como un perrito caliente con mostaza y ketchup — ¿quién dice que tienes que elegir?
de hecho, podemos elegir cualquier combinación de números reales e imaginarios y hacer un triángulo. El ángulo se convierte en el»ángulo de rotación». Un número complejo es el nombre elegante para los números con partes reales e imaginarias., En que está escrito a + bi, donde
- a es la parte real
- b es la parte imaginaria
No demasiado malo. Pero hay una última pregunta: ¿qué tan «grande» es un número complejo? No podemos medir la parte real o las partes imaginarias aisladamente, porque eso perdería el panorama general.
retrocedamos. El tamaño de un número negativo no es si se puede contar — es la distancia desde cero. En el caso de negativos esto es:
Que es otra forma de encontrar el valor absoluto., Pero para números complejos, ¿cómo medimos dos componentes en ángulos de 90 grados?
Es un pájaro… es un avión… es Pitágoras!
cielos, su teorema aparece en todas partes, incluso en números inventados 2000 años después de su tiempo. Sí, estamos haciendo un triángulo de clases, y la hipotenusa es la distancia desde cero:
Cuidada. Mientras que para medir el tamaño no es tan fácil como quitar el signo negativo», los números complejos tienen sus usos. Echemos un vistazo.,
un ejemplo Real: rotaciones
no vamos a esperar hasta la física universitaria para usar números imaginarios. Vamos a probar hoy. Hay mucho más que decir sobre la multiplicación compleja, pero tenga esto en cuenta:
- multiplicar por un número complejo gira por su ángulo
echemos un vistazo. Supongamos que estoy en un barco, con un rumbo de 3 unidades al este por cada 4 unidades al norte. Quiero cambiar mi rumbo 45 grados en sentido contrario a las agujas del reloj. ¿Cuál es el nuevo título?
algunos hotshot dirán «¡eso es simple!, Basta con tomar el seno, coseno, gobbledegook por la tangente flu fluxsom el foobar and Y and». Grieta. Lo siento, ¿rompí tu calculadora? ¿Quieres responder a esa pregunta otra vez?
probemos un enfoque más simple: estamos en un encabezado de 3 + 4i (sea cual sea ese ángulo; realmente no nos importa), y queremos girar 45 grados. Bueno, 45 grados es 1 + I (diagonal perfecta), así que podemos multiplicar por esa cantidad!,
Esta es la idea:
Si los multiplicamos juntos obtenemos:
así que nuestra nueva orientación es 1 unidad Oeste (-1 Este), y 7 unidades Norte, que puedes dibujar y seguir.
Pero yowza! Lo descubrimos en 10 segundos, sin tocar seno o coseno. No había vectores, matrices, o mantener un registro en qué cuadrante estamos. Era sólo aritmética con un toque de álgebra para multiplicar. Los números imaginarios tienen las reglas de rotación incorporadas: simplemente funciona.
No, lo convertirías en coseno y seno ( -.,14 y .99), encontrar una relación razonable entre ellos (alrededor de 1 a 7), y esbozar el triángulo. Los números complejos le ganan, al instante, con precisión y sin una calculadora.
Si eres como yo, encontrarás este uso alucinante. Y si no lo haces, bueno, me temo que las matemáticas no toquen tu cuerno. Disculpe….
La trigonometría es genial, pero los números complejos pueden hacer cálculos feos simples (como calcular coseno(a+b) ). Esto es solo una vista previa; artículos posteriores le darán la comida completa.,
aparte: algunas personas piensan » Hey, no es útil tener encabezados Norte / Este en lugar de un ángulo de grado a seguir!»
realmente? Mira tu mano derecha. ¿Cuál es el ángulo desde la parte inferior de tu meñique hasta la parte superior de tu dedo índice? Buena suerte averiguando eso por tu cuenta.
con un encabezado, al menos puedes decir «Oh, ES X pulgadas a través y y pulgadas hacia arriba» y tener alguna oportunidad de trabajar con ese rodamiento.
los números complejos no son
eso fue un recorrido relámpago de mis conocimientos básicos. Echa un vistazo a la primera tabla — debería tener sentido ahora.,
Hay mucho más en estos hermosos y estrafalarios números, pero mi cerebro está cansado. Mis objetivos eran simples:
- convencerte de que los números complejos se consideraban «locos», pero pueden ser útiles (al igual que los números negativos)
- mostrar cómo los números complejos pueden hacer que ciertos problemas sean más fáciles, como las rotaciones
si parezco caliente y preocupado por este tema, hay una razón. Los números imaginarios han sido una abeja en mi capó durante años – la falta de una visión intuitiva me frustró.
ahora que finalmente he tenido ideas, estoy a punto de compartirlas., Pero me frustra que estés leyendo esto en el blog de un loco de ojos salvajes, y no en un aula. Sofocamos nuestras Preguntas y» tragamos», porque no buscamos ni compartimos información limpia e intuitiva. Egad.
pero es mejor encender una vela que maldecir la oscuridad: aquí están mis pensamientos, y uno de ustedes brillará como un foco. Pensar que hemos «descubierto» un tema como los números es lo que nos mantiene en la tierra de los números romanos.
Hay números mucho más complejos: echa un vistazo a los detalles de aritmética compleja. Feliz matemáticas.
epílogo: ¡pero siguen siendo extraños!,
lo sé, todavía son extraños para mí también. Intento ponerme en la mente de la primera persona en descubrir zero.
Zero es una idea tan extraña, tener » algo «representa» nada», y eludió a los romanos. Los números complejos son similares-es una nueva forma de pensar. Pero tanto los números cero como los complejos hacen que las matemáticas sean mucho más fáciles. Si nunca adoptáramos nuevos y extraños sistemas numéricos, seguiríamos contando con nuestros dedos.
repito esta analogía porque es muy fácil empezar a pensar que los números complejos no son «normales»., Mantengamos nuestra mente abierta: en el futuro se reirán de que los números complejos alguna vez desconfiaron, incluso hasta la década de 2000.
si quieres más detalles, echa un vistazo a wikipedia, la discusión del Dr. Math u otro argumento sobre por qué existen los números imaginarios.,
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